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donc, faisant ces substitutions, on aura, pour l’équation de condition, celle-ci du premier ordre

$\left({\frac {p'}{y'}}\right)+\left({\frac {p'}{z'}}\right)q=\left({\frac {q'}{x'}}\right)+\left({\frac {q'}{z'}}\right)p$

ou bien

$\left({\frac {q'}{x'}}\right)-\left({\frac {p'}{y'}}\right)+\left({\frac {q'}{z'}}\right)p-\left({\frac {p'}{z'}}\right)q=0.$

L’équation donnée

$\operatorname {F} (x,y,z,p,q)=0$

fournit ces trois dérivées, relatives à $x,y,z,$

${\begin{aligned}\operatorname {F} '(x)+\operatorname {F} '(p)\left({\frac {p'}{x'}}\right)+\operatorname {F} '(q)\left({\frac {q'}{x'}}\right)=&0,\\\operatorname {F} '(y)+\operatorname {F} '(p)\left({\frac {p'}{y'}}\right)+\operatorname {F} '(q)\left({\frac {q'}{y'}}\right)=&0,\\\operatorname {F} '(z)+\operatorname {F} '(p)\left({\frac {p'}{z'}}\right)+\operatorname {F} '(q)\left({\frac {q'}{z'}}\right)=&0,\end{aligned}}$

par le moyen desquelles on pourra éliminer les fonctions dérivées de $p$ ou de $q.$

Éliminons celles de $q\,;$ on aura, par la première et la troisième,

${\begin{aligned}\left({\frac {q'}{x'}}\right)=&-{\frac {\operatorname {F} '(x)}{\operatorname {F} '(q)}}-{\frac {\operatorname {F} '(p)}{\operatorname {F} '(q)}}\left({\frac {p'}{x'}}\right),\\\left({\frac {q'}{z'}}\right)=&-{\frac {\operatorname {F} '(z)}{\operatorname {F} '(q)}}-{\frac {\operatorname {F} '(p)}{\operatorname {F} '(q)}}\left({\frac {p'}{z'}}\right),\end{aligned}}$

et, substituant ces valeurs dans l’équation ci-dessus du premier ordre, elle deviendra

$\operatorname {F} '(x)+p\operatorname {F} '(z)+\operatorname {F} '(p)\left({\frac {p'}{x'}}\right)+\operatorname {F} '(q)\left({\frac {p'}{y'}}\right)+\left[p\operatorname {F} '(p)+q\operatorname {F} '(q)\right]\left({\frac {p'}{z'}}\right)=0,$

où l’on voit que les fonctions dérivées de l’inconnue $p$ ne sont qu’à la première dimension, la quantité $q$ étant d’ailleurs une fonction de $p,x,y,z,$ donnée par l’équation

$\operatorname {F} (x,y,z,p,q)=0.$