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dénote ces valeurs par $\mathrm {P,Q,R} ,$ on aura sur-le-champ, comme nous l’avons démontré, l’équation

$\mathrm {R=\varphi (P,Q)}$

pour l’équation primitive de l’équation du premier ordre en $x,y,z$ et $p,$ la fonction $\varphi (\mathrm {P,Q} )$ étant une fonction arbitraire quelconque de $\mathrm {P}$ et de $\mathrm {Q} .$

Cette équation, combinée avec l’équation donnée

$\operatorname {F} (x,y,z,p,q)=0,$

donnera les valeurs de $p$ et $q$ en $x,y,z,$ qui, étant substituées dans l’équation

$z'=px'+qy',$

la rendront susceptible d’une équation en $x,y,z,$ qui sera l’équation cherchée.

Comme jusqu’ici rien ne limite la fonction $\varphi (\mathrm {P,Q} ),$ il s’ensuivrait que l’équation primitive d’une équation du premier ordre à trois variables pourrait renfermer une fonction arbitraire de deux quantités, tandis que, dans les cas que nous avons examinés, nous n’avons jamais trouvé que des fonctions arbitraires d’une seule quantité ; il est d’ailleurs facile de se convaincre qu’il est impossible de faire disparaître d’une équation à trois variables une fonction arbitraire de deux quantités, par le moyen de ses deux équations dérivées.

Cette difficulté, je l’avoue, m’a longtemps tourmenté ; enfin je suis parvenu à la résoudre par les considérations suivantes.

Je remarque d’abord que, comme les trois équations

$\mathrm {P} =a,\quad \mathrm {Q} =b,\quad \mathrm {R} =c$

satisfont, par l’hypothèse, aux trois équations du premier ordre

${\begin{aligned}y'\operatorname {F} '(p)-x'\operatorname {F} '(q)=&0,\\z'\operatorname {F} '(p)-x'\left[p\operatorname {F} '(p)+q\operatorname {F} '(q)\right]=&0,\\p'\operatorname {F} '(p)+x'\left[\operatorname {F} '(x)\ \ +p\operatorname {F} '(z)\right]=&0.\end{aligned}}$