dénote ces valeurs par on aura sur-le-champ, comme nous l’avons démontré, l’équation
pour l’équation primitive de l’équation du premier ordre en et la fonction étant une fonction arbitraire quelconque de et de
Cette équation, combinée avec l’équation donnée
donnera les valeurs de et en qui, étant substituées dans l’équation
la rendront susceptible d’une équation en qui sera l’équation cherchée.
Comme jusqu’ici rien ne limite la fonction il s’ensuivrait que l’équation primitive d’une équation du premier ordre à trois variables pourrait renfermer une fonction arbitraire de deux quantités, tandis que, dans les cas que nous avons examinés, nous n’avons jamais trouvé que des fonctions arbitraires d’une seule quantité ; il est d’ailleurs facile de se convaincre qu’il est impossible de faire disparaître d’une équation à trois variables une fonction arbitraire de deux quantités, par le moyen de ses deux équations dérivées.
Cette difficulté, je l’avoue, m’a longtemps tourmenté ; enfin je suis parvenu à la résoudre par les considérations suivantes.
Je remarque d’abord que, comme les trois équations
satisfont, par l’hypothèse, aux trois équations du premier ordre