puisque la substitution des valeurs de
en
donne
![{\displaystyle \mathrm {P} =a,\quad \mathrm {Q} =b,\quad \mathrm {R} =c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aabb27d1f032a098db340f9f9b8f10e599e738b8)
d’où ces valeurs sont supposées tirées.
Or, en prenant les fonctions dérivées, on a
![{\displaystyle c'=a'\varphi '(a)+b'\varphi '(b).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bfea3b326f6e2f2878b71e58ab1c931001aeab3)
Donc, faisant ces substitutions, l’équation
![{\displaystyle \left[\mathrm {A+C} \varphi '(a)\right]a'+\left[\mathrm {B+C} \varphi '(b)\right]b'=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff090af5796fea288b22f4d49087c5753852a390)
aura nécessairement une équation primitive, ce qui ne peut avoir lieu qu’autant que la variable
disparaîtra d’elle-même de l’équation, puisque sa fonction dérivée
a déjà disparu.
Alors l’équation sera entre les deux seules variables
et
et amura toujours une équation primitive, par laquelle
deviendra fonction de
seul ; et cette fonction sera arbitraire, à cause de la fonction arbitraire
Ainsi les deux quantités
et
seront nécessairement, l’une et l’autre, fonctions de
seul ; mais il faudra qu’elles satisfassent à l’équation
![{\displaystyle \mathrm {A} a'+\mathrm {B} b'+\mathrm {C} c'=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f229e1ccff625fc3780d1a26278233428960d08)
Soient donc
![{\displaystyle b=\psi (a),\quad c=\varphi (a)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4948efad7f696d5ce58da40d3f985a6b2df7729)
en les substituant dans cette équation, on aura
![{\displaystyle \mathrm {A} +\mathrm {B} \psi '(a)+\mathrm {C} \varphi '(a)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e0965c2ec36c336e01150adf01636fe80015723)
ce qui donne une relation entre les deux fonctions
et
et il en restera une d’arbitraire.
Maintenant, si l’on remet pour
leurs valeurs
on aura, pour l’équation primitive cherchée, le système des deux équations
![{\displaystyle \mathrm {Q=\psi (P),\quad R=\varphi (P)} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/019afbf7631e2318536b71cd24fe5e416e733f0a)
d’où, en éliminant
on aura une équation en
avec une fonction arbitraire.