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puisque la substitution des valeurs de $x,y,z$ en $p,a,b,c$ donne

$\mathrm {P} =a,\quad \mathrm {Q} =b,\quad \mathrm {R} =c,$

d’où ces valeurs sont supposées tirées.

Or, en prenant les fonctions dérivées, on a

$c'=a'\varphi '(a)+b'\varphi '(b).$

Donc, faisant ces substitutions, l’équation

$\left[\mathrm {A+C} \varphi '(a)\right]a'+\left[\mathrm {B+C} \varphi '(b)\right]b'=0$

aura nécessairement une équation primitive, ce qui ne peut avoir lieu qu’autant que la variable $p$ disparaîtra d’elle-même de l’équation, puisque sa fonction dérivée $p'$ a déjà disparu.

Alors l’équation sera entre les deux seules variables $a$ et $b,$ et amura toujours une équation primitive, par laquelle $b$ deviendra fonction de $a$ seul ; et cette fonction sera arbitraire, à cause de la fonction arbitraire $\varphi (a,b).$

Ainsi les deux quantités $b$ et $c$ seront nécessairement, l’une et l’autre, fonctions de $a$ seul ; mais il faudra qu’elles satisfassent à l’équation

$\mathrm {A} a'+\mathrm {B} b'+\mathrm {C} c'=0.$

Soient donc

$b=\psi (a),\quad c=\varphi (a)\,;$

en les substituant dans cette équation, on aura

$\mathrm {A} +\mathrm {B} \psi '(a)+\mathrm {C} \varphi '(a)=0\,;$

ce qui donne une relation entre les deux fonctions $\varphi (a)$ et $\psi (a),$ et il en restera une d’arbitraire.

Maintenant, si l’on remet pour $a,b,c,$ leurs valeurs $\mathrm {P,Q,R} ,$ on aura, pour l’équation primitive cherchée, le système des deux équations

$\mathrm {Q=\psi (P),\quad R=\varphi (P)} \,;$

d’où, en éliminant $p,$ on aura une équation en $x,y,z,$ avec une fonction arbitraire.