Telle est la solution directe et complète du problème ; mais nous verrons qu’on peut la simplifier dans plusieurs cas.
Prenons pour exemple l’équation du premier ordre
![{\displaystyle z=\left({\frac {z'}{x'}}\right)\left({\frac {z'}{y'}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/684a280ea5270eec411c1cfa84b328b37c9b0867)
On aura ici
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,z,p,q)=z-pq=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a541d26c879f042f0e6d3bf1a64b825c064235af)
donc
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x)=0,\quad \operatorname {F} '(y)=0,\quad \operatorname {F} '(z)=1,\quad \operatorname {F} '(p)=-q,\quad \operatorname {F} '(q)=-p\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e22210e04d6d3d8d0cc8600d04291eb1868269f6)
et les trois équations du premier ordre en
deviendront
![{\displaystyle -qy'+px'=0,\quad -qz'+2pqx'=0,\quad -qp'+px'=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a43e9b9159e381c17f0d6d566e8cb19a503c814f)
Or l’équation
![{\displaystyle z=pq}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a06cc9814f751597c99108f4ff3471638707e4d)
donne
![{\displaystyle q={\frac {z}{p}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70156e018522d4f19a96013aff0f3fb9b5dc9c34)
donc les trois équations dont il s’agit deviendront
![{\displaystyle zy'-p^{2}x'=0,\quad z'-2px'=0,\quad zp'-p^{2}x'=0,s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a08638fba8ac560e943d820a50ac6b1c1707a95)
et l’on pourrait faire l’une des fonctions dérivées
égale à l’unité.
La première et la dernière donnent
![{\displaystyle y'=p'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8955deb63bf5f2c33edc963e74ca84bf3ff725aa)
d’où l’on tire l’équation primitive
![{\displaystyle y=p+a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46d52be745984a1937464058616797697775fbca)
étant une constante arbitraire.
Ensuite la seconde et la troisième donnent
![{\displaystyle pz'=2z'p',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/549e8dd9523d8f2fc1882f01e99aae13e7936afe)
savoir
![{\displaystyle {\frac {z'}{z}}={\frac {2p'}{p}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77ef7cc8f87b6452417d958c666a4e64c97b8eed)