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Telle est la solution directe et complète du problème ; mais nous verrons qu’on peut la simplifier dans plusieurs cas.

Prenons pour exemple l’équation du premier ordre

$z=\left({\frac {z'}{x'}}\right)\left({\frac {z'}{y'}}\right).$

On aura ici

$\operatorname {F} (x,y,z,p,q)=z-pq=0\,;$

donc

$\operatorname {F} '(x)=0,\quad \operatorname {F} '(y)=0,\quad \operatorname {F} '(z)=1,\quad \operatorname {F} '(p)=-q,\quad \operatorname {F} '(q)=-p\,;$

et les trois équations du premier ordre en $x,y,z,p$ deviendront

$-qy'+px'=0,\quad -qz'+2pqx'=0,\quad -qp'+px'=0.$

Or l’équation

$z=pq$

donne

$q={\frac {z}{p}}\,;$

donc les trois équations dont il s’agit deviendront

$zy'-p^{2}x'=0,\quad z'-2px'=0,\quad zp'-p^{2}x'=0,s$

et l’on pourrait faire l’une des fonctions dérivées $x',y',z',p'$ égale à l’unité.

La première et la dernière donnent

$y'=p'\,;$

d’où l’on tire l’équation primitive

$y=p+a,$

$a$ étant une constante arbitraire.

Ensuite la seconde et la troisième donnent

$pz'=2z'p',$

savoir

${\frac {z'}{z}}={\frac {2p'}{p}}\,;$