Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 10.djvu/360

les fonctions primitives logarithmiques sont

$lz=lp^{2}+lb,$

d’où l’on tire

$z=bp^{2},$

$b$ étant une constante arbitraire.

Enfin, si dans la première on substitue $p'$ pour $y'$ et $bp^{2}$ pour $z,$ on a, en divisant par $p^{2},$

$bp'-x'=0\,;$

d’où l’on déduit, en prenant les fonctions primitives,

$x=bp+c,$

$c$ étant la troisième constante arbitraire.

Ainsi on aura, en dégageant les valeurs de ces constantes,

$a=y-p=\mathrm {P} ,\quad b={\frac {z}{p^{2}}}=\mathrm {Q} ,\quad c=x-{\frac {z}{p}}=\mathrm {R} .$

Maintenant, si dans l’équation

$z'-px'-qy'=0$

on substitue pour $q$ la valeur ${\frac {z}{p}},$ elle devient

$z'-px'-{\frac {zy'}{p}}=0$

Et si, à la place de $x,y,z,$ on y met les expressions trouvées ci-dessus en $p,a,b,c,$ en regardant les quantités $a,b,c,$ comme variables, on a la transformée

$p^{2}b'+2bpp'-p^{2}b'-bpp'-pc'-bpp'-bpa'=0,$

qui, en effaçant ce qui se détruit et divisant ensuite par $p,$ se réduit à

$c'+ba'=0.$

Donc, faisant

$b=\psi (a),\quad c=\varphi (a),$

on aura

$\varphi '(a)+\psi (a)=0\,;$