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Mais, si l’on employait la première et la dernière, on aurait, par l’élimination de $p,$

$c=x-{\frac {z}{y-a}},$

d’où l’on tire

$z=(x-c)(y-a)\,;$

cette expression donne

$\left({\frac {z'}{y'}}\right)=y-a,\quad \left({\frac {z'}{x'}}\right)=x-c,$

valeurs qui satisfont à la proposée.

La raison de cette espèce de bizarrerie se trouve dans l’équation donnée plus haut

$c'+ba'=0.$

Elle fait voir que les deux quantités $a$ et $c$ peuvent être constantes ensemble ; que, par conséquent, les deux équations

$\mathrm {P} =a\quad {\text{et}}\quad \mathrm {R} =c$

ont lieu à la fois, de sorte qu’en éliminant $p$ on a une équation en $x,y,z$ et les deux constantes arbitraires $a,c,$ qui sera, par conséquent, l’équation primitive complète de la proposée. Mais l’équation ne serait pas satisfaite par la simple supposition de $a$ et $b,$ ou de $b$ et $c,$ constantes ensemble ; d’où il suit que les deux équations

$\mathrm {P} =a\ \ et\ \ \mathrm {Q} =b,\quad {\text{ou}}\quad \mathrm {Q} =b\ \ et\ \ \mathrm {R} =c,$

prises ensemble, ne satisfont pas à la proposée.

Au reste, on peut trouver l’équation primitive complète, au moyen d’une seule de ces équations ; car elle donne une valeur de $p$ en $x,y,z$ et une constante arbitraire ; et, comme cette valeur satisfait à l’équation du premier ordre en $x,y,z$ et $p,$ elle rendra l’équation

$z'-px'-qy'=0$

susceptible d’une équation primitive ainsi il n’y aura qu’à chercher cette équation en $y$ ajoutant une constante arbitraire, et l’on aura l’équation primitive complète avec les deux constantes.