devient, en substituant pour
sa valeur
![{\displaystyle \left({\frac {z'}{x'}}\right)=y-a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/185853017bc58da11283297ca67b12b5832cd3a7)
Comme il n’y a ici que la fonction dérivée de
relativement à
on peut ôter les parenthèses et mettre l’équation sous la forme
![{\displaystyle z'=(y-a)x',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8309c8b4340a125e3e8a936c36e062fed5f39d14)
dont l’équation primitive, en regardant
comme constante, est
![{\displaystyle z=(y-a)(x-\mathrm {Y} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/088b6249e7f5ac9a9ac7e2b7c0e6838397b110b6)
étant une fonction quelconque de ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
Cette valeur donne, en prenant les fonctions dérivées par rapport à
et
![{\displaystyle \left({\frac {z'}{x'}}\right)=y-a,\quad \left({\frac {z'}{y'}}\right)=x-\mathrm {Y} -(y-a)\mathrm {Y} '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f305fa760b8f9a5529a1fcfbae3df979a81faacf)
Substituant ces expressions dans la proposée
![{\displaystyle z=\left({\frac {z'}{x'}}\right)\left({\frac {z'}{y'}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ada1e9ef4ea25622e9f85fe6c43d46807e91c687)
on a
![{\displaystyle (y-a)(x-\mathrm {Y} )=(y-a)(x-\mathrm {Y} )-(y-a)^{2}\mathrm {Y} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54fe4db52d75da37fa0f89e1e20a088d1528229a)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \mathrm {Y} '=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/650e784a1291536061d6478d5d77b561a8e77c12)
et, par conséquent,
![{\displaystyle \mathrm {Y} =c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32fb54ada09a52ca2caddf1d5457a828eaa49a0c)
en prenant
pour une constante arbitraire.
Ainsi l’équation primitive devient, comme ci-dessus,
![{\displaystyle z=(y-a)(x-c).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc7967c4f51498464ecbd2555c8ef5961c8ec9b1)
Ayant cette équation primitive complète, pour en tirer l’équation primitive générale, on fera
![{\displaystyle c=\varphi (a),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8259df7cd3bca30dcfe7f650feb91d8dd97c2002)
et l’on prendra la dérivée par rapport à
seul ; on aura ainsi le système