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devient, en substituant pour $p$ sa valeur $\left({\frac {z'}{x'}}\right),$

$\left({\frac {z'}{x'}}\right)=y-a.$

Comme il n’y a ici que la fonction dérivée de $z$ relativement à $x,$ on peut ôter les parenthèses et mettre l’équation sous la forme

$z'=(y-a)x',$

dont l’équation primitive, en regardant $y$ comme constante, est

$z=(y-a)(x-\mathrm {Y} ),$

$\mathrm {Y}$ étant une fonction quelconque de $y.$

Cette valeur donne, en prenant les fonctions dérivées par rapport à $x$ et $y,$

$\left({\frac {z'}{x'}}\right)=y-a,\quad \left({\frac {z'}{y'}}\right)=x-\mathrm {Y} -(y-a)\mathrm {Y} '.$

Substituant ces expressions dans la proposée

$z=\left({\frac {z'}{x'}}\right)\left({\frac {z'}{y'}}\right),$

on a

$(y-a)(x-\mathrm {Y} )=(y-a)(x-\mathrm {Y} )-(y-a)^{2}\mathrm {Y} ',$

d’où l’on tire

$\mathrm {Y} '=0$

et, par conséquent,

$\mathrm {Y} =c,$

en prenant $c$ pour une constante arbitraire.

Ainsi l’équation primitive devient, comme ci-dessus,

$z=(y-a)(x-c).$

Ayant cette équation primitive complète, pour en tirer l’équation primitive générale, on fera

$c=\varphi (a),$

et l’on prendra la dérivée par rapport à $a$ seul ; on aura ainsi le système