Pour trouver ces formules de la manière la plus simple, je commence par considérer une fonction 
de différentes variables 
et de leurs dérivées, dans laquelle une de ces variables et ses dérivées 
ne se trouvent partout qu’à la première dimension il est clair que la fonction sera de cette forme
étant des fonctions de 
et de leurs dérivées sans 
Rien n’est plus facile que de trouver les conditions nécessaires pour qu’une fonction de cette forme soit une dérivée exacte, indépendamment d’aucune relation entre la variable 
et les autres.
En etfet, si l’on considère les fonctions dérivées du produit de deux quantités quelconques, et qu’on dénote, comme nous l’avons proposé à la fin de la Leçon II, par des traits appliqués aux parenthèses, les fonctions dérivées des quantités renfermées dans ces parenthèses, on a
donc
On a de la même manière
donc
On trouvera pareillement
et ainsi de suite.
Faisant ces substitutions dans l’expression de 
elle devient, en ordonnant les termes,
