Comme tous les termes de cette formule, à l’exception de ceux de la première ligne qui se trouvent multipliés par sont déjà des fonctions dérivées exactes, il faudra, pour que la fonction soit une dérivée exacte, que les termes multipliés par savoir
forment ensemble une fonction dérivée exacte.
Or il est facile de se convaincre que cela est impossible tant qu’on n’établit aucune relation entre et les autres variables. Donc il faudra que ces termes disparaissent d’eux-mêmes de l’expression de ce qui donnera l’équation de condition
laquelle devra par conséquent être identique pour que la fonction puisse avoir en général une fonction primitive. Lorsque cette condition aura lieu, la fonction primitive de sera évidemment
En général, quel que soit le nombre des variables contenues dans la fonction si l’une d’elles ainsi que ses dérivées sont linéaires, on aura toujours, relativement à cette variable, la même équation de condition, pour que la fonction devienne une fonction dérivée exacte, indépendammentd’aucune relation entre ces variables.
Après avoir résolu le cas des fonctions linéaires par rapport à l’une des variables, nous allons réduire à ce cas très simple la recherche des équations de condition pour les fonctions d’une forme quelconque.
Supposons qu’une fonction de d’un ordre quelconque soit la fonction dérivée exacte de la fonction de l’ordre immédiatement inférieur, indépendamment d’aucune relation particulière entre et il est clair que, si dans ces deux fonctions on substitue à la fois à la place de et conséquemment à la place de en supposant une fonction indéterminée de ces fonctions continueront à être l’une la fonction dérivée exacte de l’autre, puisque cette dérivation ne dépend point
