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Ainsi l’on sera sûr d’avoir, par ces expressions, les logarithmes exacts jusqu’à $s$ chiffres, en prenant la racine ${\sqrt[{r}]{z}},$ de telle manière qu’il y ait après la virgule $s$ zéros avant les chiffres significatifs.

En général, puisque l’erreur va en diminuant à mesure que l’on prend l’exposant $r$ de la racine plus grand, on peut dire qu’elle deviendra nulle ou comme nulle, si l’on prend $r$ infiniment grand de sorte qu’on pourra regarder alors l’une et l’autre des deux formules

${\frac {r}{c}}\left({\sqrt[{r}]{z}}-1\right)\quad {\text{et}}\quad {\frac {r}{c}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt[{r}]{z}}}\right)$

comme l’expression exacte de $\log z.$

On peut conclure de là que les logarithmes rentrent dans la classe des puissances, et forment le premier terme de la série des puissances dont les exposants croissent ou décroissent depuis zéro, ou le dernier terme des racines dont les degrés vont en augmentant à l’infini.

C’est aussi sous ce rapport qu’on peut dire qu’à un nombre donné répond toujours une infinité de logarithmes, puisque sa racine infinitième a nécessairement une infinité de valeurs différentes.

La meilleure manière d’employer la formule précédente est de prendre pour $r$ une puissance de $2,$ puisqu’on n’aura alors que des extractions de racines carrées à faire. C’est ainsi que Briggs a calculé les premiers logarithmes il avait remarqué qu’en faisant des extractions successives de racines carrées d’un nombre quelconque, si l’on s’arrête dans une de ces extractions à deux fois autant de décimales qu’il y aura de zéros à la suite de l’unité, lorsqu’il n’y a plus que l’unité avant la virgule, la partie décimale de cette racine se trouve exactement la moitié de la racine précédente, en sorte que ces parties décimales ont entre elles le même rapport que les logarithmes des racines mêmes ; c’est ce qui résulte évidemment de la formule précédente.

Ainsi, en prenant $r=2^{60},$ on trouve, pour $a=10,$

${\begin{aligned}{\sqrt[{r}]{a}}=&1{,}00000\ 00000\ 00000\ 00199\ 71742\ 08125\ 50527\ 03251\ \ldots ,\\{\frac {1}{r}}=&0{,}00000\ 00000\ 00000\ 00086\ 73617\ 37988\ 40354\,;\end{aligned}}$