quoi on a supposé que la fonction donnée ne contenait point les dérivées 
de la variable 
car, suivant les principes de la Leçon VII, lorsque 
est la variable principale dont les autres sont fonctions, on peut faire 
et par conséquent 
Cependant si, pour plus de généralité, on veut regarder (ce qui est toujours permis et ce qui a lieu surtout dans les problèmes de Mécanique) les variables et 
comme fonctions d’une troisième variable 
alors toute fonction dérivée d’un ordre quelconque de deux variables 
devra contenir également les dérivées de ces deux variables ; et nous avons donné, dans la Leçon citée, les transformations nécessaires pour introduire les dérivées de dans une fonction où l’on a supposé 
Il faut seulement observer que, lorsque la fonction est censée être une fonction dérivée d’une autre fonction des mêmes variables, il faut de plus la multiplier par 
Car, si 
est une fonction de 
où l’on a fait laquelle doive être une fonction dérivée d’une autre fonction 
on aura par l’hypothèse 
et, pour détruire la supposition de il faudra substituer à la place des fonctions primes 
les valeurs 
à la place de la fonction seconde 
la quantité 
et ainsi des fonctions des ordres supérieurs, comme on l’a vu dans la Leçon VII ; ainsi l’on aura
Maintenant, si l’on considère une fonction quelconque de 
et qu’on demande les conditions nécessaires pour que cette fonction soit une fonction dérivée exacte ; en représentant cette fonction par
et faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} =&f'(x)-\left[f'(x')\right]'+\left[f'(x'')\right]''-\ldots ,\\\mathrm {Y} =&f'(y)\,-\left[f'(y')\right]'+\left[f'(y'')\right]''\,-\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/257c59c363de270a3b767f7f8159ad8a5109b830)
