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on aura, par ce qu’on a démontré plus haut, si les deux variables $x$ et $y$ sont regardées comme indépendantes, les deux équations $\mathrm {X} =0$ et $\mathrm {Y} =0,$ qui devront avoir lieu à la fois.

Mais, si $y$ doit être une fonction de $x,$ alors en substituant $\varphi (x)$ pour $y$ et les dérivées de $\varphi (x),$ savoir : $x'\varphi '(x),\ x''\varphi '(x)+x'^{2}\varphi ''(x),\ \ldots$ pour $y',y'',\ldots ,$ il faudra que la fonction proposée devienne simplement de la forme $x'\operatorname {F} (x),$ comme si l’on y faisait $x'=1.$ Ainsi, si l’on met dans cette fonction $x+\xi$ à la place de $x,$ et qu’on développe, en ne tenant compte que des premières dimensions de $\xi ,$ elle deviendra

$x'\operatorname {F} (x)+\xi '\operatorname {F} (x)+x'\xi \operatorname {F} '(x),$

où l’on voit que les termes qui contiennent $\xi$ forment ensemble une fonction dérivée, dont la primitive est $\xi \operatorname {F} (x),$ quelle que soit la valeur de $\xi .$

Je conclus de là que, si dans la fonction proposée, où $y$ est censé fonction de $x,$ on substitue aussi $x+\xi$ à la place de $x,$ et qu’on développe suivant $\xi ,$ les termes qui ne contiendront que la première dimension de $\xi$ et de ses dérivées devront former ensemble une fonction dérivée exacte, quelle que soit la valeur de $\xi .$ Or, $y$ étant $\varphi (x),$ il deviendra, par la substitution de $x+\xi$ à la place de $x,$ $\varphi (x)+\xi \varphi '(x),$ en ne tenant compte que de la première dimension de $\xi \,;$ donc, si l’on fait, pour abréger, $\xi \varphi '(x)=\omega ,$ il faudra mettre $y+\omega$ à la place de $y,$ tandis qu’on met $x+\xi$ à la place de $x.$

Par ces substitutions et ces développements, les termes de la fonction proposée, qui ne contiendront que les premières dimensions de $\xi ,$ se trouveront représentées par

${\begin{aligned}&\,\xi f'(x)+\xi 'f'(x')+\,\xi ''f'(x'')+\ldots \\+&\omega f'(y)+\omega 'f'(y')+\omega ''f'(y'')+\ldots \end{aligned}}$

et, par ce que nous avons démontré dans cette Leçon, pour que ces termes forment une dérivée exacte, il faudra que la quantité

$\left\{f'(x)-\left[f'(x')\right]'+\left[f'(x'')\right]''-\ldots \right\}\xi +\left\{f'(y)-\left[f'(y')\right]'+\left[f'(y'')\right]''-\ldots \right\}\omega$

soit elle-même une dérivée exacte.