Cette quantité est la même chose que 
donc, en mettant pour 
sa valeur 
elle devient ![{\displaystyle [\mathrm {X+Y} \varphi '(x)]\xi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54b6455eb4833579fc894a1be013ea7a180d5d89)
et il est visible qu’elle ne peut être une dérivée exacte, indépendamment de la valeur de 
qui doit demeurer arbitraire ; donc il faudra que cette quantité s’évanouisse d’elle-même, et par conséquent qu’on ait l’équation identique 
Mais, 
étant 
on a en général 
Donc, substituant cette valeur de 
on aura nécessairement l’équation identique
Il suit de là que l’équation de condition 
qu’on aurait par la considération de la variable 
et de ses dérivées, sera identique avec l’équation de condition 
qui se rapporte à la variable 
car, faisant 
dans l’équation précédente, on a nécessairement 
On prouvera de la même manière que, pour une fonction composée des trois variables 
et de leurs dérivées, on aurait l’équation identique
en supposant
![{\displaystyle \mathrm {Z} =f'(z)-\left[f'(z')\right]'+\left[f'(z'')\right]''-\left[f'(z''')\right]'''+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/137fff2efe0e1097b6eda69c8fb8952baabd5ec5)
De sorte que, dans ce cas, l’équation de condition serait comprise dans les deux équations 
et 
Ainsi on pourra toujours, dans la question présente, se dispenser d’avoir égard aux dérivées de la variable principale et à l’équation de condition qui en résulterait.
Si l’on voulait que la fonction 
fût une dérivée exacte du second ordre, il faudrait de plus que la fonction primitive de 
c’est-à-dire la fonction 
fût elle-même une dérivée exacte. Or on a
en supposant, pour abréger,
