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et il est facile de trouver, par les mêmes procédés qu’on a employés pour la fonction ${\overset {1}{\mathrm {V} }},$ que la condition nécessaire pour que la fonction ${\overset {1}{\mathrm {U} }},$ soit considérée exacte, indépendamment de la valeur de $\omega ,$ est renfermée dans l’équation

$p-q'+r''-\ldots =0,$

laquelle, en remettant pour $p,q,r,\ldots$ leurs valeurs, devient

$\mathrm {P-2Q'+3R''} -\ldots =0.$

Donc, pour qu’une fonction de la forme $f(x,y,y',y'',\ldots )$ soit une fonction dérivée exacte du second ordre, c’est-à-dire une fonction dérivée d’une fonction dérivée, indépendamment d’aucune relation particulière entre $x$ et $y,$ on aura, relativement à $y,$ outre la première équation de condition, celle-ci :

$f'(y')-2\left[f'(y'')\right]'+3\left[f'(y''')\right]''-\ldots =0.$

Et l’on aurait une pareille équation relativement à $z,$ si la fonction proposée contenait aussi $z,z',z'',\ldots .$

On trouverait de même, pour que la proposée fût une fonction dérivée du troisième ordre, cette troisième équation de condition, relativement à $y,$

$f'(y'')-3\left[f'(y''')\right]'+6[f'(y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}})]''-\ldots =0\,;$

et ainsi de suite.

Enfin si l’on suppose qu’on n’ait, pour la détermination d’une fonction $u,$ qu’une équation d’un ordre quelconque entre $u,x$ et $y$ et les fonctions dérivées $u',u'',\ldots ,y',y'',\ldots$ de $u$ et de $y,$ et qu’on demande les conditions nécessaires pour que $u$ soit une fonction de $x,y,y',,y'',\ldots ,$ indépendamment d’aucune relation entre $x$ et $y,$ le problème pourra encore se résoudre par les mêmes principes et en suivant la même méthode.

Soit $\mathrm {V} =0$ l’équation donnée, dans laquelle on suppose que $u$ est une fonction de $x,y',y'',\ldots \,;$ si l’on met partout y+\omega à la place de $y,$ et par conséquent $y'+\omega ',\ y''+\omega '',\ldots$ à la place de $y',y'',\ldots ,$ la quantité