et il est facile de trouver, par les mêmes procédés qu’on a employés pour la fonction
que la condition nécessaire pour que la fonction
soit considérée exacte, indépendamment de la valeur de
est renfermée dans l’équation
![{\displaystyle p-q'+r''-\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/213dd42b22638077ffc234ed482326ebaa386e45)
laquelle, en remettant pour
leurs valeurs, devient
![{\displaystyle \mathrm {P-2Q'+3R''} -\ldots =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d94d219d65670f8bd3a6188e85de5fcc21947cff)
Donc, pour qu’une fonction de la forme
soit une fonction dérivée exacte du second ordre, c’est-à-dire une fonction dérivée d’une fonction dérivée, indépendamment d’aucune relation particulière entre
et
on aura, relativement à
outre la première équation de condition, celle-ci :
![{\displaystyle f'(y')-2\left[f'(y'')\right]'+3\left[f'(y''')\right]''-\ldots =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/832b0f3c8e96c87b716ba19e5547de6ba1404220)
Et l’on aurait une pareille équation relativement à
si la fonction proposée contenait aussi ![{\displaystyle z,z',z'',\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2729ea460c9937712a749886262ec7008fbce8e2)
On trouverait de même, pour que la proposée fût une fonction dérivée du troisième ordre, cette troisième équation de condition, relativement à
![{\displaystyle f'(y'')-3\left[f'(y''')\right]'+6[f'(y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}})]''-\ldots =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a7cdf503fcc7914147bc5523ef1d7bb6694295d)
et ainsi de suite.
Enfin si l’on suppose qu’on n’ait, pour la détermination d’une fonction
qu’une équation d’un ordre quelconque entre
et
et les fonctions dérivées
de
et de
et qu’on demande les conditions nécessaires pour que
soit une fonction de
indépendamment d’aucune relation entre
et
le problème pourra encore se résoudre par les mêmes principes et en suivant la même méthode.
Soit
l’équation donnée, dans laquelle on suppose que
est une fonction de
si l’on met partout
y+\omega à la place de
et par conséquent
à la place de
la quantité