Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 10.djvu/39

de sorte que l’on aura

${\frac {1}{c}}={\frac {1}{r}}{\frac {1}{{\sqrt[{r}]{a}}-1}}={\frac {86\ 73617\ 37988\ 40354\ \ldots }{199\ 71742\ 08125\ 50327\ \ldots }}=0{,}43429\ 44819\ \ldots .$

C’est de ce nombre qu’on a tiré celui qu’on a donné ci-dessus pour la valeur de $c.$

Si maintenant on veut avoir, par exemple, le logarithme de $3,$ on fera $z=3,$ et, employant de même $60$ extractions de racines carrées, on trouvera les nombres suivants :

${\sqrt[{r}]{z}}=1{,}00000\ 00000\ 00000\ 00095\ 28942\ 64074\ 58932\ \ldots ,$

et de là

$\log z={\frac {{\sqrt[{r}]{z}}-1}{{\sqrt[{r}]{a}}-1}}={\frac {95\ 28942\ 64074\ 58932\ \ldots }{199\ 71742\ 08125\ 50527\ \ldots }}=0{,}47712\ 12547\ 19662\ \ldots .$

Cette méthode est, comme l’on voit, très laborieuse par le grand nombre d’extractions de racines qu’elle demande pour avoir un résultat en plusieurs décimales ; mais les séries que nous avons données ci-dessus servent à la simplifier et à la compléter ; car, quel que soit le nombre $z,$ il suffira d’en extraire quelques racines carrées, jusqu’à ce qu’on parvienne à un nombre ${\sqrt[{r}]{z}}$ qui n’ait que l’unité avant la virgule ; alors les puissances de ${\sqrt[{r}]{z}}-1$ seront des fractions d’autant plus petites qu’elles seront plus hautes ; par conséquent il suffira toujours de prendre un certain nombre de termes de la série pour avoir les logarithmes exacts jusqu’à tel ordre de décimales qu’on voudra.

Les logarithmes qui ont l’unité pour module sont ceux qui se nomment logarithmes naturels ou hyperboliques, parce qu’ils représentent l’aire de l’hyperbole équilatère, rapportée aux abscisses prises sur l’une des asymptotes, et que Neper a le premier calculés. Leur base est le nombre $e,$ et, pour les distinguer des autres, nous les dénoterons simplement par la caractéristique $l.$

Ainsi $lx$ aura pour fonction dérivée ${\frac {1}{x}},$ et la formule générale