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Or

$\varphi '(x,y,y')=\varphi '(x)+y'\varphi '(y)+y''\varphi '(y')\,;$

donc

$\varphi ''(x,y,y')=\left[\varphi '(x)\right]'+\left[y'\varphi '(y)\right]'+\left[y''\varphi '(y')\right]'.$

Par cette substitution, l’équation de condition deviendra

$\Psi '(y)+y''\varphi '(y)-\left[\Psi '(y')\right]'+\left[\varphi '(x)\right]'+\left[y'\varphi '(y)\right]'=0.$

Supposons, pour abréger,

$\varphi '(x)+y'\varphi '(y)-\Psi '(y')=\Phi (x,y,y'),$

la caractéristique $\Phi$ dénotant une fonction connue de $x,y,y',$ puisqu’en effet cette expression ne contient que les trois quantités $x,y,y'\,;$ on aura l’équation

$\Psi '(y)+y''\varphi '(y)+\Phi '(x,y,y')=0\,;$

mais

$\Phi '(x,y,y')=\Phi '(x)+y'\Phi '(y)+y''\Phi '(y')\,;$

donc l’équation de condition se réduira à

$\Psi '(y)+\Phi '(x)+y'\Phi '(y)+y''\left[\varphi '(y)+\Phi '(y')\right]=0.$

Or il est visible que la quantité $y''$ n’entre point dans les fonctions dérivées suivant $x$ et $y,$ puisqu’elle n’entre point dans les fonctions primitives représentées par les caractéristiques $\Psi ,\varphi$ et $\Phi \,;$ donc, pour que l’équation puisse être identique, il faudra que les termes multipliés par $y''$ disparaissent ; par conséquent l’équation de condition se partagera en ces deux-ci :

$\varphi '(y)+\Phi '(y)=0,$

$\Psi '(y)+\Phi '(x)+y'\Phi '(y)=0,$

qui devront avoir lieu séparément pour que la fonction proposée soit une dérivée exacte.

Supposons, pour donner un exemple particulier, que cette fonction soit

${\frac {y'}{y}}-{\frac {xy'^{2}}{y^{2}}}+{\frac {y''x}{y}}\,;$