Or
![{\displaystyle \varphi '(x,y,y')=\varphi '(x)+y'\varphi '(y)+y''\varphi '(y')\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d30ce36339a2b8bfb26ad495c6cb92047b6c64b)
donc
![{\displaystyle \varphi ''(x,y,y')=\left[\varphi '(x)\right]'+\left[y'\varphi '(y)\right]'+\left[y''\varphi '(y')\right]'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a360ab911134f4d139bc05da382fcdb8a1ba6569)
Par cette substitution, l’équation de condition deviendra
![{\displaystyle \Psi '(y)+y''\varphi '(y)-\left[\Psi '(y')\right]'+\left[\varphi '(x)\right]'+\left[y'\varphi '(y)\right]'=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23f2b259088d8b309e8084b0636056b2abff1085)
Supposons, pour abréger,
![{\displaystyle \varphi '(x)+y'\varphi '(y)-\Psi '(y')=\Phi (x,y,y'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11619c4608f138a907624abef0b854cbc27a6120)
la caractéristique
dénotant une fonction connue de
puisqu’en effet cette expression ne contient que les trois quantités
on aura l’équation
![{\displaystyle \Psi '(y)+y''\varphi '(y)+\Phi '(x,y,y')=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15a633e46a214e23fe8f34f33aa84b6c63be3c53)
mais
![{\displaystyle \Phi '(x,y,y')=\Phi '(x)+y'\Phi '(y)+y''\Phi '(y')\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f811e4d3f184cf5ace92a647043a6401b6a7bcd5)
donc l’équation de condition se réduira à
![{\displaystyle \Psi '(y)+\Phi '(x)+y'\Phi '(y)+y''\left[\varphi '(y)+\Phi '(y')\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cdb73329305f862a4cc2aa743bdfb2d34699073)
Or il est visible que la quantité
n’entre point dans les fonctions dérivées suivant
et
puisqu’elle n’entre point dans les fonctions primitives représentées par les caractéristiques
et
donc, pour que l’équation puisse être identique, il faudra que les termes multipliés par
disparaissent ; par conséquent l’équation de condition se partagera en ces deux-ci :
![{\displaystyle \varphi '(y)+\Phi '(y)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/067b837d74404d549f210f86e9b82ca15bd3a6f2)
![{\displaystyle \Psi '(y)+\Phi '(x)+y'\Phi '(y)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6a1f97274f6f4887bcdd11aece772ddf87ed75d)
qui devront avoir lieu séparément pour que la fonction proposée soit une dérivée exacte.
Supposons, pour donner un exemple particulier, que cette fonction soit
![{\displaystyle {\frac {y'}{y}}-{\frac {xy'^{2}}{y^{2}}}+{\frac {y''x}{y}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7194a1a9fbc977595c8ba3d1e5df01f5d074cc01)