Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 10.djvu/383

on aura ici

$\Psi (x,y,y')={\frac {y'}{y}}-{\frac {xy'^{2}}{y^{2}}}\quad {\text{et}}\quad \varphi (x,y,y')={\frac {x}{y}}.$

De là on tirera

$\Psi '(y)=-{\frac {y'}{y^{2}}}+{\frac {2xy'^{2}}{y^{3}}},\quad \Psi '(y')={\frac {1}{y}}-{\frac {2xy'}{y^{2}}},$

$\varphi '(x)={\frac {1}{y}},\quad \varphi '(y)=-{\frac {x}{y^{2}}},$

$\Phi (x,y,y')={\frac {1}{y}}-{\frac {xy'}{y^{2}}}-{\frac {1}{y}}+{\frac {2xy'}{y^{2}}}={\frac {xy'}{y^{2}}},$

$\Phi '(x)={\frac {y'}{y^{2}}},\quad \Phi '(y)=-{\frac {2xy'^{2}}{y^{3}}},\quad \Phi '(y')={\frac {x}{y^{2}}}.$

Ainsi les deux équations de condition deviendront

$-{\frac {x}{y^{2}}}+{\frac {x}{y^{2}}}=0,\quad -{\frac {y'}{y^{2}}}+{\frac {2xy'^{2}}{y^{3}}}+{\frac {y'}{y^{2}}}-{\frac {2xy'^{2}}{y^{3}}}=0,$

qui se vérifient, comme l’on voit, d’elles-mêmes. En effet, la fonction proposée est la dérivée de ${\frac {xy'}{y}}.$

En général, il est facile de prouver que l’équation de condition

$f'(y)-\left[f'(y)\right]'+\left[f'(y'')\right]''-\ldots =0$

ne saurait être identique, à moins que la plus haute des fonctions dérivées $y',y'',\ldots ,$ qui entrera dans la fonction proposée $f(x,y,y',y'',\ldots )$ n’y soit qu’à la première dimension, afin qu’elle puisse disparaître dans la fonction dérivée qu’on prendra relativement à cette même dérivée de $y.$ D’où il suit que, si la fonction proposée est de l’ordre $n,$ elle ne pourra être une fonction dérivée exacte, à moins qu’elle ne soit de la forme

$\Psi \left[x,y,y',y'',\ldots ,y^{(n-1)}\right]+y^{(n)}\Phi \left[x,y,y',y'',\ldots ,y^{(n-1)}\right],$

ce qui s’accorde avec ce que nous avons vu dans la Leçon XIII.

Ensuite on peut aussi prouver que, de même que pour les fonctions du second ordre, l’équation de condition se décompose en deux, qui