doivent avoir lieu à la fois ; pour les fonctions du troisième ordre, elle se décomposera en trois ; et, pour les fonctions du quatrième ordre, elle se décomposera en quatre ; et ainsi de suite.
Enfin, pour donner aussi un exemple d’une fonction dépendante, d’une équation, nous prendrons l’équation
et nous chercherons les conditions nécessaires pour que la fonction 
soit une fonction de 
et 
En comparant cette équation à la forme générale
on aura
et de là on tirera ces valeurs
Comme la fonction ne contient point 
on aura
et la dernière des trois équations de condition trouvées ci-dessus pour le cas dont il s’agit donnera sur-le-champ 
ce qui réduira les deux premières à
![{\displaystyle -\Psi '(y)-y'\varphi '(y)-\mathrm {N} \left[\Psi '(u)+y'\varphi '(u)\right]+\mathrm {N} '=0,\quad -\varphi (u,x,y)+\mathrm {N} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e9b65e906d78e366e550d9659c85634f83494aa)
La dernière donne
donc, substituant dans la première et changeant les signes, on aura
![{\displaystyle \Psi '(y)+y'\varphi '(y)+\left[\Psi '(u)+y'\varphi '(u)\right]+\varphi (u,x,y)-\varphi '(u,x,y)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dec6742b8b0cb050ea6faafffe80b3c54657456)
Mais
