doivent avoir lieu à la fois ; pour les fonctions du troisième ordre, elle se décomposera en trois ; et, pour les fonctions du quatrième ordre, elle se décomposera en quatre ; et ainsi de suite.
Enfin, pour donner aussi un exemple d’une fonction dépendante, d’une équation, nous prendrons l’équation
![{\displaystyle u'-\Psi (u,x,y)-y'\varphi (u,x,y)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baed4e862c80283675453fce3e099bb264dc710a)
et nous chercherons les conditions nécessaires pour que la fonction
soit une fonction de
et ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
En comparant cette équation à la forme générale
![{\displaystyle f(u,u',x,y,y')=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb51c105ec7339c66b3476fe09fb76125a649978)
on aura
![{\displaystyle f(u,u',x,y,y')=u'-\Psi (u,x,y)-y'\varphi (u,x,y)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d479b19606c4a60d6456adf31c2432176558d45a)
et de là on tirera ces valeurs
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}f'(u)=&-\Psi '(u)-y'\varphi '(u),\qquad &f'(u')=&1,\\f'(y)=&-\Psi '(y)-y'\varphi '(y),&f'(y')=&-\varphi (u,x,y).\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/793b561bd1253e5bdbcb6b3faa439a97c20bface)
Comme la fonction ne contient point
on aura
![{\displaystyle f'(y'')=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5be06b706e74ffe298798dba86dd37abc8432c9)
et la dernière des trois équations de condition trouvées ci-dessus pour le cas dont il s’agit donnera sur-le-champ
ce qui réduira les deux premières à
![{\displaystyle -\Psi '(y)-y'\varphi '(y)-\mathrm {N} \left[\Psi '(u)+y'\varphi '(u)\right]+\mathrm {N} '=0,\quad -\varphi (u,x,y)+\mathrm {N} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e9b65e906d78e366e550d9659c85634f83494aa)
La dernière donne
![{\displaystyle \mathrm {N} =\varphi (u,x,y)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c56a207405381ba33493d0b5636e69eabfacf4bf)
donc, substituant dans la première et changeant les signes, on aura
![{\displaystyle \Psi '(y)+y'\varphi '(y)+\left[\Psi '(u)+y'\varphi '(u)\right]+\varphi (u,x,y)-\varphi '(u,x,y)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dec6742b8b0cb050ea6faafffe80b3c54657456)
Mais
![{\displaystyle \varphi '(u,x,y)=u'\varphi '(u)+\varphi '(u)+y'\varphi '(y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a46842f982cd1f89e56dc26f21d807592fdf3589)