et la proposée donne
donc, faisant ces substitutions et effaçant ce qui se détruit, on aura cette équation de condition
qui est la même, en changeant en que celle que nous avons trouvé directement dans la Leçon XIX, pour que l’équation dérivée à trois variables puisse admettre une équation primitive entre ces variables.
Le problème que nous venons de résoudre, sur les équations de condition qui doivent avoir lieu pour qu’une fonction donnée de plusieurs variables et de leurs dérivées ait une fonction primitive indépendamment d’aucune relation entre ces variables, a une connexion intime avec un autre problème plus important, qui a exercé les géomètres pendant près d’un siècle. C’est le fameux problème des isopérimètres, qui, pris dans toute son extension, consiste à trouver les équations qui doivent avoir lieu entre les variables, pour que la fonction primitive inconnue d’une fonction donnée de ces variables et de leurs dérivées devienne un maximum ou un minimum.
Les mêmes formules d’équations résolvent les deux problèmes, mais avec cette différence que, pour le premier, les équations doivent être identiques et se vérifier d’elles-mêmes ; au lieu que, dans le dernier problème, elles deviennent les équations nécessaires entre les variables pour l’existence du maximum ou du minimum.
On verra la raison de cette identité des résultats par l’analyse que nous allons donner du problème des isopérimètres. Mais nous commencerons par une histoire succincte des différentes tentatives que les géomètres du dernier siècle ont faites pour parvenir à une solution générale de ce problème, et qui ont conduit par degrés à la méthode connue sous le nom de Calcul des variations.
Les questions de maximis et minimis n’ont pas été inconnues aux anciens géomètres ; car on a un livre entier d’Apollonius, qui traite presque uniquement des plus grandes et des plus petites lignes droites
