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la valeur différentielle de $\int \mathrm {Z} dx$ sera

$\mathrm {P} .\nu +(\mathrm {P} +d\mathrm {P} )\omega \,;$

et, en faisant varier les trois ordonnées voisines $y,{\overset {\,_{'}}{y}},{\overset {\,_{''}}{y}},$ sa valeur différentielle sera

$\mathrm {P} .\nu +(\mathrm {P} +d\mathrm {P} )\omega +\left(\mathrm {P} +2d\mathrm {P} +d^{2}\mathrm {P} \right)\pi ,$

et ainsi de suite.

Il en sera de même de toutes les autres formules semblables.

Donc, pour les courbes où la formule $\int \mathrm {Z} dx$ doit être un maximum ou un minimum absolu, on aura, en ne faisant varier qu’une ordonnée, l’équation $\mathrm {P} .\nu =0,$ laquelle donne $\mathrm {P} =0.$

Pour les courbes où $\int \mathrm {Z} dx$ ne doit être qu’un maximum ou un minimum relatif parmi toutes les courbes qui ont une propriété commune exprimée par la formule $\int \mathrm {Y} dx,$ si l’on représente par $\mathrm {Q} .\nu$ la valeur différentielle de $\int \mathrm {Y} dx$ due à l’incrément $\nu$ de $y,$ on aura, en faisant varier deux ordonnées et égalant à zéro les valeurs différentielles des formules $\int \mathrm {Z} dx$ et $\int \mathrm {Y} dx,$ les équations

${\begin{aligned}\mathrm {P} .\nu +(\mathrm {P} \,+d\mathrm {P} \,)\omega =&0,\\\mathrm {Q} .\nu +(\mathrm {Q} +d\mathrm {Q} )\omega =&0,\end{aligned}}$

lesquelles donnent celle-ci

${\frac {d\mathrm {P} }{\mathrm {P} }}-{\frac {d\mathrm {Q} }{\mathrm {Q} }}=0,$

dont l’intégrale est

$\mathrm {P} +a\mathrm {Q} =0,$

$a$ étant une constante arbitraire.

Cette équation est, comme l’on voit, la même que celle qu’on trouverait pour le maximum ou minimum absolu de la formule $\int \mathrm {Z} dx+a\int \mathrm {Y} dx,$ en ne faisant varier qu’une seule ordonnée.

Si la même formule $\int \mathrm {Z} dx$ ne devait être un maximum ou un minimum que dans une des courbes dans lesquelles deux autres formules $\int \mathrm {Y} dx$ et $\int \mathrm {X} dx$ conservent les mêmes valeurs, on aurait alors le cas où il faut faire varier trois ordonnées successives, et où il faudra égaler