la valeur différentielle de
sera
![{\displaystyle \mathrm {P} .\nu +(\mathrm {P} +d\mathrm {P} )\omega \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/935b0052810b88b0a8e5cbde02e68fe6fe96af63)
et, en faisant varier les trois ordonnées voisines
sa valeur différentielle sera
![{\displaystyle \mathrm {P} .\nu +(\mathrm {P} +d\mathrm {P} )\omega +\left(\mathrm {P} +2d\mathrm {P} +d^{2}\mathrm {P} \right)\pi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32bef7c2af2f910e0452134800a5f2060b1d601b)
et ainsi de suite.
Il en sera de même de toutes les autres formules semblables.
Donc, pour les courbes où la formule
doit être un maximum ou un minimum absolu, on aura, en ne faisant varier qu’une ordonnée, l’équation
laquelle donne
Pour les courbes où
ne doit être qu’un maximum ou un minimum relatif parmi toutes les courbes qui ont une propriété commune exprimée par la formule
si l’on représente par
la valeur différentielle de
due à l’incrément
de
on aura, en faisant varier deux ordonnées et égalant à zéro les valeurs différentielles des formules
et
les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} .\nu +(\mathrm {P} \,+d\mathrm {P} \,)\omega =&0,\\\mathrm {Q} .\nu +(\mathrm {Q} +d\mathrm {Q} )\omega =&0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4e91bb8946d6ea815fb7c33b7a46b23bcbf6c2d)
lesquelles donnent celle-ci
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {P} }{\mathrm {P} }}-{\frac {d\mathrm {Q} }{\mathrm {Q} }}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8e2360baeee15c94966bcabeb9c61d626c1bc34)
dont l’intégrale est
![{\displaystyle \mathrm {P} +a\mathrm {Q} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ac0399f9af7135216294bda1d8d5f4fd9bd6ef9)
étant une constante arbitraire.
Cette équation est, comme l’on voit, la même que celle qu’on trouverait pour le maximum ou minimum absolu de la formule
en ne faisant varier qu’une seule ordonnée.
Si la même formule
ne devait être un maximum ou un minimum que dans une des courbes dans lesquelles deux autres formules
et
conservent les mêmes valeurs, on aurait alors le cas où il faut faire varier trois ordonnées successives, et où il faudra égaler