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séparément à zéro les valeurs différentielles des trois formules dont il s’agit.

Ainsi, en dénotant par $\mathrm {R} .\nu$ la valeur différentielle de $\int \mathrm {X} dx$ provenant de l’incrément $\nu ,$ on aurait ces trois équations

${\begin{aligned}\mathrm {P} .\nu +(\mathrm {P} \,+d\mathrm {P} )\omega +&\left(\mathrm {P} +2d\mathrm {P} \,+d^{2}\mathrm {P} \right)\pi =0,\\\mathrm {Q} .\nu +(\mathrm {Q} +d\mathrm {Q} )\omega +&\left(\mathrm {Q} +2d\mathrm {Q} +d^{2}\mathrm {Q} \right)\pi =0,\\\mathrm {R} .\nu +(\mathrm {R} +d\mathrm {R} )\omega +&\left(\mathrm {R} +2d\mathrm {R} \,+d^{2}\mathrm {R} \right)\pi =0,\end{aligned}}$

savoir,

${\begin{aligned}\mathrm {P} (\nu +\omega +\pi )+&d\mathrm {P} (\omega +2\pi )+d^{2}\mathrm {P} \,.\pi =0,\\\mathrm {Q} (\nu +\omega +\pi )+&d\mathrm {Q} (\omega +2\pi )+d^{2}\mathrm {Q} .\pi =0,\\\mathrm {R} (\nu +\omega +\pi )+&d\mathrm {R} (\omega +2\pi )+d^{2}\mathrm {R} \,.\pi =0.\end{aligned}}$

Éliminant deux des quantités $\nu ,\omega ,\pi ,$ la troisième s’évanouit d’elle-même, et l’on obtient une équation différentielle du second ordre entre les trois variables $\mathrm {P,Q,R} ,$ dont par conséquent l’intégrale complète renfermera trois constantes arbitraires. Mais, sans chercher cette équation différentielle, il est facile de s’assurer que l’équation

$\mathrm {P} +a\mathrm {Q} +b\mathrm {R} =0$

satisfait aux trois équations ci-dessus, quelles que soient les valeurs des coefficients $a,b,$ pourvu qu’ils soient constants ; car, en multipliant la seconde équation par $a,$ la troisième par $b,$ et les ajoutant à la première, on aura une équation identique, en vertu de l’équation supposée et, comme cette équation contient deux constantes arbitraires $a$ et $b,$ il s’ensuit qu’elle sera nécessairement l’intégrale complète de l’équation du second ordre dont il s’agit ; et l’on voit en même temps qu’elle n’est autre chose que celle qui donne le maximum ou minimum absolu de la formule

$\int \mathrm {Z} dx+a\int \mathrm {Y} dx+b\int \mathrm {X} dx.$

Au reste, je dois observer que, dans les premières solutions qui ont été données du problème des isopérimètres par les Bernoulli, Taylor et Euler lui-même, la valeur différentielle de la formule $\int \mathrm {Z} dx,$ qui doit