être un maximum ou un minimum parmi toutes les courbes isopérimètres, n’est pas de la forme
![{\displaystyle \mathrm {P} .\nu +{\overset {\,_{'}}{\mathrm {P} }}.\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03ecc14356aa8979fd44f8b7d58b9b9ea2a2d938)
lorsque la fonction
contient l’arc
de la courbe, ce qui est contraire à la théorie d’Euler, qu’on vient d’exposer.
Par exemple, dans la solution de Taylor, qui est une des plus simples, si l’on y substitue les dénominations précédentes, qu’on suppose
![{\displaystyle d\mathrm {Z} =\mathrm {L} ds+\mathrm {M} dx+\mathrm {N} dy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b4766d8331a29a4948eb331b55c1b3d71f8ca36)
et qu’on fasse, pour abréger,
on a cette valeur différentielle
![{\displaystyle (\mathrm {N} +\mathrm {L} q)dx.\nu +\left({\overset {\,_{'}}{\mathrm {N} }}+{\overset {\,_{'}}{\mathrm {L} }}{\overset {\,_{''}}{q}}\right)dx.\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f0ef62263ae10339bc307a3af2a68f5eb6c78b1)
provenant des variations
et
des ordonnées
et
dans les trois éléments
qui sont les seuls que Taylor considère.
Mais je remarque que cette valeur n’est pas la valeur différentielle complète de la formule intégrale
car, par les formules exactes de l’ouvrage cité d’Euler, la seule variation
de l’ordonnée
dans la formule
donne la valeur différentielle
![{\displaystyle \left[\mathrm {N} -dx-d.\left(\mathrm {H} -\int \mathrm {L} dx\right)q\right]\nu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f44e9053cd2ea999ef1b91a23d26b0ab2746bcc)
où
est la valeur de
correspondante à une abscisse donnée
pour laquelle
doit être un maximum ou un minimum. De sorte que, pour les deux variations simultanées
et
la vraie valeur différentielle sera
![{\displaystyle \left[\mathrm {N} dx-d.\left(\mathrm {H} -\int \mathrm {L} dx\right)q\right]\nu +\left[{\overset {\,_{'}}{\mathrm {N} }}dx-d.\left(\mathrm {H} -\int {\overset {\,_{'}}{\mathrm {L} }}dx\right){\overset {\,_{'}}{q}}\right]\omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b10405d1e182d5e568a3b24640cc3a713ca8a783)
On voit d’abord par-là que la valeur différentielle de Taylor donnerait une solution fausse, si on voulait l’employer à trouver la courbe dans laquelle
serait un maximum ou un minimum entre toutes les courbes possibles, dans lequel cas il suffit d’avoir égard à la variation d’une seule ordonnée ; car, en égalant à zéro cette valeur différen-