Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 10.djvu/395

tielle, et supposant $\omega$ nul, on aurait l’équation

$\mathrm {N+L} q=0\,;$

tandis que la solution d’Euler donnerait

$\mathrm {N} dx-d.\left(\mathrm {H} -\int \mathrm {L} dx\right)q=0,$

qui est la véritable équation du problème.

Dans le cas des isopérimètres, il arrive néanmoins que les deux solutions s’accordent ; car alors la propriété commune des courbes est l’arc $s,$ c’est-à-dire la formule $\int {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}},$ ou $\int {\sqrt {1+p^{2}}}dx,$ en faisant $p={\frac {dy}{dx}}\,;$ ainsi on a de plus la formule

$\int \mathrm {Y} dx,\quad {\text{où}}\quad \mathrm {Y} ={\sqrt {1+p^{2}}},$

dont la valeur différentielle doit être nulle, en même temps que celle de $\int \mathrm {Z} dx.$

Or, par la construction et l’analyse de Taylor, on a pour cette formule la valeur différentielle

$-dq.\nu -d{\overset {\,_{'}}{q}}.\omega \,;$

et, par les formules de l’Ouvrage d’Euler, on a de même $-dq.\nu$ pour la valeur différentielle due à la seule variation $\nu \,;$ de sorte que, pour les deux variations $\nu$ et $\omega ,$ on aura également

$-dq.\nu -d{\overset {\,_{'}}{q}}.\omega .$

Ainsi, suivant Taylor, on doit avoir, dans ce cas, les deux équations

$(\mathrm {N} +\mathrm {L} q)\nu +\left({\overset {\,_{'}}{\mathrm {N} }}+{\overset {\,_{'}}{\mathrm {L} }}{\overset {\,_{''}}{q}}\right)\omega =0\quad dq.\nu +d{\overset {\,_{'}}{q}}.\omega =0,$

lesquelles donnent, par l’élimination de $\nu$ et $\omega ,$ celle-ci :

$(\mathrm {N} +\mathrm {L} q)d{\overset {\,_{'}}{q}}=\left({\overset {\,_{'}}{\mathrm {N} }}+{\overset {\,_{'}}{\mathrm {L} }}{\overset {\,_{''}}{q}}\right)dq\,;$

savoir, en substituant $\mathrm {N} +d\mathrm {N}$ pour $\mathrm {N} ,$ $\mathrm {L} +d\mathrm {L}$ pour ${\overset {\,_{'}}{\mathrm {L} }},$ $dq+d^{2}q$ pour $d{\overset {\,_{'}}{q}}$ et $q+2dq+d^{2}q$ pour ${\overset {\,_{''}}{q}}$ et effaçant ce qui se détruit,

$\mathrm {N} d^{2}q+\mathrm {L} qa^{d}2q-d\mathrm {N} dq-d\mathrm {L} qdq-2\mathrm {L} a^{d}2q-2d\mathrm {L} a^{d}2q-\mathrm {L} dqa^{d}2q-d\mathrm {L} dqa^{d}2q=0.$