Cette équation est l’intégrale première de celle de Taylor ; car, si on la réduit à la forme
qu’on la différentie après l’avoir divisée par et qu’on fasse ensuite disparaître les dénominateurs, on trouvera l’équation de Taylor.
On pourrait faire des remarques semblables sur les solutions de Bernoulli et sur celles d’Euler, dans les tomes VI et VIII des Anciens Commentaires de Pétersbourg. Mais, dans l’état actuel de l’Analyse, on peut regarder ces discussions comme inutiles, parce qu’elles regardent des méthodes oubliées, comme ayant fait place à d’autres plus simples et plus générales. Cependant elles peuvent avoir encore quelque intérêt pour ceux qui aiment à suivre pas à pas les progrès de l’Analyse, et à voir comment les méthodes simples et générales naissent des questions particulières et des procédés indirects et compliqués.
L’Ouvrage d’Euler, que nous avons cité, n’aurait rien laissé à désirer sur les problèmes relatifs aux courbes qui jouissent de quelque propriété de maximum ou minimum, s’il avait pour base une analyse plus conforme à l’esprit du Calcul différentiel. Mais la décomposition que l’auteur y fait des différentielles et des intégrales dans leurs éléments primitifs détruit le mécani\sine de ce calcul, et lui fait perdre ses principaux avantages, la simplicité et la généralité de son algorithme.
Il restait donc a trouver la manière de plier le Calcul différentiel à ce genre de problèmes qui sont essentiellement de son ressort, et de les résoudre sans s’écarter de la marche simple et uniforme de ce Calcul. Cet objet a été rempli par la méthode des variations, publiée dans le tome des Mémoires de l’Académie de Turin[1]. Comme cette méthode est exposée dans la plupart des Traités de Calcul différentiel qui ont paru depuis, nous nous contenterons d’en donner ici les principes.
Elle consiste à faire varier les dans la formule intégrale en et qui doit être un maximum ou un minimum, par des différentiations
- ↑ Œuvres de Lagrange, t. I, p. 335, et t. II, p. 37.
