Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 10.djvu/400

La première donnera la valeur de la constante $\mathrm {K} ,$ laquelle étant substituée dans la seconde, donne

${\begin{aligned}(\mathrm {P} _{1}&-d\mathrm {Q} _{1}+\ldots )\delta y_{1}+\mathrm {Q} _{1}d\delta y_{1}+\ldots \\&-(\mathrm {P} _{0}-d\mathrm {Q} _{0}-\ldots )\delta y_{0}-\mathrm {Q} _{0}d\delta y_{0}-\ldots =0,\end{aligned}}$

équation qui reste encore à vérifier pour la solution complète du problème.

Si les valeurs de $y_{0}$ et $y_{1},$ ainsi que celles de ${\frac {dy_{0}}{dx}},{\frac {dy_{1}}{dx}},\ldots ,$ sont censées données, leurs variations seront nulles, et tous les termes de l’équation s’en iront d’eux-mêmes ; c’est le cas de l’Analyse d’Euler.

Si toutes ces valeurs ou seulement quelques-unes sont indéterminées, ou s’il y a entre elles des relations données par la nature du problème, alors, après avoir effacé les variations qui doivent être nulles et réduit les autres au plus petit nombre possible, il faudra faire disparaître les variations restantes en égalant leurs coefficients à zéro ce qui donnera autant d’équations auxquelles on satisfera par le moyen des constantes arbitraires que les différentes intégrations introduiront dans l’équation du problème. [Voir là-dessus le deuxième et le quatrième Volume des Mémoires de Turin^[1], et les différents Ouvrages de Calcul intégral où cette théorie est exposée.]

1. Œuvres de Lagrange, t. I, p. 335, et t. II, p. 37.