LEÇON VINGT-DEUXIÈME.
La méthode des variations, fondée sur l’emploi et la combinaison des caractéristiques et qui répondent à des différentiations différentes, ne laissait rien à désirer ; mais cette méthode ayant, comme le Calcul différentiel, la supposition des infiniment petits pour base, il était nécessaire de la présenter sous un autre point de vue pour la lier au Calcul des fonctions c’est ce que j’ai déjà fait dans la Théorie des Fonctions ; mais je vais reprendre ici cet objet, pour le traiter d’une manière plus directe et plus complète.
Lorsqu’une fonction donnée de plusieurs variables et de leurs dérivées ne satisfait pas aux conditions que nous avons trouvées dans la Leçon précédente, elle ne peut pas avoir une fonction primitive, à moins qu’il n’y ait des relations établies entre ces variables, de manière qu’il n’y reste qu’une seule variable indéterminée ; et les questions de maximis et de minimis dont il s’agit ici consistent à trouver des relations telles que la fonction primitive qui en résultera soit un maximum ou un minimum entre des limites données, c’est-à-dire entre des valeurs données de la variable qui demeurera indéterminée.
On voit d’abord que cette question dépend nécessairement de ce que la fonction primitive ne puisse avoir lieu sans une relation entre les variables ; car si elle pouvait être une fonction déterminée des différentes variables et de leurs dérivées, elle ne serait plus susceptible que des maxima ou minima du genre ordinaire, relativement à cha-
