cune des variables et de leurs dérivées considérées comme des variables particulières.
Considérons donc une fonction quelconque de que nous désignerons par et que nous supposerons n’avoir point de fonction primitive dans l’état où elle est ; pour qu’elle en ait une, il faudra supposer et, pour que la fonction primitive qui en résulte, et que nous dénoterons par soit un maximum ou un minimum entre des limites données qui répondent à des valeurs données de il faudra qu’en faisant varier tant soit peu la fonction la valeur de a fonction prise entre ces limites diminue dans le cas du maximum, et augmente dans le cas du minimum.
Supposons que l’expression de soit, en général, une fonction de et que nous représenterons par et qui soit telle qu’elle devienne lorsque
La fonction deviendra aussi une fonction de et et, pour qu’elle soit un maximum ou un minimum, il faudra qu’en donnant à une valeur quelconque très petite, et supposant d’ailleurs la composition de la fonction arbitraire par rapport à elle ait une valeur moindre dans le cas du maximum, et plus grande dans le cas du minimum que lorsque Si l’on développe cette fonction suivant les puissances de elle deviendra
en indiquant par des points les fonctions, dérivées par rapport à dans lesquelles il faut faire, après la dérivation, comme on l’a vu dans la Leçon IX.
Ainsi l’accroissement de à raison de la quantité sera exprimé par les termes
et il faudra pour le maximum que la somme de ces termes ait une valeur négative, et pour le minimum que sa valeur soit positive, étant une quantité quelconque très petite et indépendante de
