On a prouvé dans la Leçon citée qu’on peut toujours donner à une valeur assez petite pour que le premier terme surpasse la somme de tous les suivants ; d’où il suit qu’alors l’accroissement de aura le même signe que le terme mais il est visible que ce terme change de signe avec la quantité qui n’y est qu’à la première dimension ; donc il est impossible que l’accroissement de soit constamment positif ou négatif en donnant à des valeurs quelconques très petites, à moins que le premier terme du développement de ne disparaisse, ce qui donne d’abord la condition qui est, comme l’on voit, commune aux maxima et aux minima.
Cette condition étant remplie, l’accroissement de se réduira à
et, par un raisonnement semblable à celui que nous venons de faire, on pourra prouver aussi que le premier terme devra être positif ou négatif pour que la variation soit positive ou négative ; mais, ce terme étant multiplié par le carré de il est clair que son signe sera indépendant de et ne dépendra que de celui de la quantité laquelle devra donc être toujours négative dans le cas du maximum, et positive dans le cas du minimum ; ce qui contient le caractère qui distingue les maxima des minima.
Telle est la théorie générale des maxima et minima que nous avons cru devoir rappeler ici pour ne rien laisser à désirer.
Dans les questions ordinaires, la quantité qui doit être un maximum ou un minimum, est une fonction donnée de et les dérivées sont prises par rapport à alors l’équation devient et donne la valeur de ensuite le signe de distingue le maximum du minimum.
Dans les questions dont il s’agit ici, la fonction n’est donnée que par sa fonction dérivée la fonction est l’inconnue, et les dérivées sont censées prises par rapport à la quantité qu’on sup-
