Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 10.djvu/410

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et deviendra

Donc l’accroissement total de sera exprimé par

où l’on voit que sont les variations totales de dans le cas où l’on a égard à la variation de

Désignant, pour un moment, ces variations par pour les distinguer des variations qui ont lieu lorsque est nul, on aura

donc

et, prenant les dérivées par rapport à

Ce sont les valeurs qu’il faudra substituer à la place de \overset{.}{y},\overset{.}{y}\,',\overset{.}{y}\,,\ldots dans la variation prise en regardant comme invariable. Donc, si l’on a égard à la variation de l’expression de trouvée ci-dessus deviendra, en mettant simplement au lieu de

Ainsi les termes de la transformée, qui seront multipliés par les variations et sans être des dérivées exactes, seront simplement

d’où l’on voit que l’équation générale

trouvée d’après la seule variation de satisfait en même temps à la variation de Donc cette variation n’influera que sur l’équation aux