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On peut faire ici $x'=1,$ et l’on aura simplement

${\overset {.}{p}}=\left({\overset {.}{y}}-p{\overset {.}{x}}\right)'+q{\overset {.}{x}}.$

De même, $q$ étant $={\frac {p'}{x'}},$ on aura

${\overset {.}{q}}={\frac {{\overset {.}{p}}\,'}{x'}}-{\frac {p'{\overset {.}{x}}\,'}{x'^{2}}}={\frac {{\overset {.}{p}}\,'-q{\overset {.}{x}}\,'}{x'}}={\frac {\left({\overset {.}{p}}-q{\overset {.}{x}}\right)'+q'x}{x'}}={\frac {\left({\overset {.}{p}}-q{\overset {.}{x}}\right)'}{x'}}+rx.$

Mais la valeur de $p$ donne

${\overset {.}{p}}-q{\overset {.}{x}}=\left({\overset {.}{y}}-p{\overset {.}{x}}\right)'\,;$

donc, faisant cette substitution, et supposant $x'=1,$ ce qui est permis ici, il viendra

${\overset {.}{q}}=\left({\overset {.}{y}}-p{\overset {.}{x}}\right)''+r{\overset {.}{x}}.$

On trouvera de la même manière et ainsi de suite.

${\overset {.}{r}}=\left({\overset {.}{y}}-p{\overset {.}{x}}\right)'''+s{\overset {.}{x}},$

et ainsi de suite.

Par ces substitutions, la variation ${\overset {.}{\mathrm {V} }}$ deviendra

$(\mathrm {M} +\mathrm {P} q+\mathrm {Q} r+\mathrm {R} s+\ldots ){\overset {.}{x}}+\mathrm {N} y+\mathrm {P} \left({\overset {.}{y}}-p{\overset {.}{x}}\right)'+\mathrm {Q} \left({\overset {.}{y}}-p{\overset {.}{x}}\right)''+\mathrm {R} \left({\overset {.}{y}}-p{\overset {.}{x}}\right)'''+\ldots$

${\begin{aligned}&\quad =(\mathrm {M} +\mathrm {N} p+\mathrm {P} q+\mathrm {Q} r+\mathrm {R} s+\ldots ){\overset {.}{x}}\\&\qquad +\mathrm {N} \left({\overset {.}{y}}-p{\overset {.}{x}}\right)+\mathrm {P} \left({\overset {.}{y}}-p{\overset {.}{x}}\right)'+\mathrm {Q} \left({\overset {.}{y}}-p{\overset {.}{x}}\right)''+\mathrm {R} \left({\overset {.}{y}}-p{\overset {.}{x}}\right)'''+\ldots \end{aligned}}$

Or on a trouvé ci-dessus

$\mathrm {M} +\mathrm {N} p+\mathrm {P} q+\mathrm {Q} r+\ldots ={\frac {\mathrm {V} '}{x'}}\,;$

d’ailleurs $p={\frac {y'}{x'}}\,;$ donc, faisant ces substitutions et supposant ici $x'=1,$ on aura simplement

${\overset {.}{\mathrm {V} }}=\mathrm {V} '{\overset {.}{x}}+\mathrm {N} \left({\overset {.}{y}}-y'{\overset {.}{x}}\right)+\mathrm {P} \left({\overset {.}{y}}-y'{\overset {.}{x}}\right)'+\mathrm {Q} \left({\overset {.}{y}}-y'{\overset {.}{x}}\right)''+\mathrm {R} \left({\overset {.}{y}}-y'{\overset {.}{x}}\right)'''+\ldots .$

C’est la valeur complète de la variation de ${\overset {.}{\mathrm {V} }},$ déduite des variations de $x$ et de $y$ et de leurs dérivées.

Mais on a vu qu’il faut mettre $\mathrm {V} x'$ à la place de $\mathrm {V} \,;$ donc on aura ${\overset {.}{\mathrm {V} }}x'+\mathrm {V} {\overset {.}{x}}\,'$ à substituer à la place de ${\overset {.}{\mathrm {V} }}$ dans les formules données plus