On peut faire ici
et l’on aura simplement
![{\displaystyle {\overset {.}{p}}=\left({\overset {.}{y}}-p{\overset {.}{x}}\right)'+q{\overset {.}{x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7fb5e94bbcb73936f8833967b980e662a56ad71)
De même,
étant
on aura
![{\displaystyle {\overset {.}{q}}={\frac {{\overset {.}{p}}\,'}{x'}}-{\frac {p'{\overset {.}{x}}\,'}{x'^{2}}}={\frac {{\overset {.}{p}}\,'-q{\overset {.}{x}}\,'}{x'}}={\frac {\left({\overset {.}{p}}-q{\overset {.}{x}}\right)'+q'x}{x'}}={\frac {\left({\overset {.}{p}}-q{\overset {.}{x}}\right)'}{x'}}+rx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a600e78d9059a3e80cab7b6f12ac85422ab4d70)
Mais la valeur de
donne
![{\displaystyle {\overset {.}{p}}-q{\overset {.}{x}}=\left({\overset {.}{y}}-p{\overset {.}{x}}\right)'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc5c4b4c10c71e6917d8b5edc98a66d40695b905)
donc, faisant cette substitution, et supposant
ce qui est permis ici, il viendra
![{\displaystyle {\overset {.}{q}}=\left({\overset {.}{y}}-p{\overset {.}{x}}\right)''+r{\overset {.}{x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dd36b14125539fc39a3ed32fc69cfd62dcb62c2)
On trouvera de la même manière et ainsi de suite.
![{\displaystyle {\overset {.}{r}}=\left({\overset {.}{y}}-p{\overset {.}{x}}\right)'''+s{\overset {.}{x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e3a66e606f9ca1ebd58f425fb1ee642ecd39335)
et ainsi de suite.
Par ces substitutions, la variation
deviendra
![{\displaystyle (\mathrm {M} +\mathrm {P} q+\mathrm {Q} r+\mathrm {R} s+\ldots ){\overset {.}{x}}+\mathrm {N} y+\mathrm {P} \left({\overset {.}{y}}-p{\overset {.}{x}}\right)'+\mathrm {Q} \left({\overset {.}{y}}-p{\overset {.}{x}}\right)''+\mathrm {R} \left({\overset {.}{y}}-p{\overset {.}{x}}\right)'''+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49c6c2887a61a9c34545e51280c08d4b8a6a106d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\quad =(\mathrm {M} +\mathrm {N} p+\mathrm {P} q+\mathrm {Q} r+\mathrm {R} s+\ldots ){\overset {.}{x}}\\&\qquad +\mathrm {N} \left({\overset {.}{y}}-p{\overset {.}{x}}\right)+\mathrm {P} \left({\overset {.}{y}}-p{\overset {.}{x}}\right)'+\mathrm {Q} \left({\overset {.}{y}}-p{\overset {.}{x}}\right)''+\mathrm {R} \left({\overset {.}{y}}-p{\overset {.}{x}}\right)'''+\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8258ff36627b9afa1fb58b87b69cd3bcb64f6510)
Or on a trouvé ci-dessus
![{\displaystyle \mathrm {M} +\mathrm {N} p+\mathrm {P} q+\mathrm {Q} r+\ldots ={\frac {\mathrm {V} '}{x'}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5515c425ebc10550e0d9e67823391f4a6fba203e)
d’ailleurs
donc, faisant ces substitutions et supposant ici
on aura simplement
![{\displaystyle {\overset {.}{\mathrm {V} }}=\mathrm {V} '{\overset {.}{x}}+\mathrm {N} \left({\overset {.}{y}}-y'{\overset {.}{x}}\right)+\mathrm {P} \left({\overset {.}{y}}-y'{\overset {.}{x}}\right)'+\mathrm {Q} \left({\overset {.}{y}}-y'{\overset {.}{x}}\right)''+\mathrm {R} \left({\overset {.}{y}}-y'{\overset {.}{x}}\right)'''+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb6709bc4368c8f922dc41f7ce104eb815914279)
C’est la valeur complète de la variation de
déduite des variations de
et de
et de leurs dérivées.
Mais on a vu qu’il faut mettre
à la place de
donc on aura
à substituer à la place de
dans les formules données plus