haut ; donc, mettant ici la valeur de
qu’on vient de trouver, et oloservant que
![{\displaystyle \mathrm {V} '{\overset {.}{x}}+\mathrm {V} {\overset {.}{x}}\,'=\left(\mathrm {V} {\overset {.}{x}}\right)',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be8dddb8168f7d9c2ef8f204ddfda467df271a88)
on aura, en faisant
le même résultat auquel on est parvenu ci-dessus par une autre voie.
Au reste, en regardant la quantité
comme une fonction de
et de leurs dérivées
on pourra traiter les variations de
comme on a fait celles de
Dans ce cas, la fonction
étant représentée par
![{\displaystyle f(x,x',x'',\ldots ,y,y',y'',\ldots ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d1bdc38b146cf0c3eb85c1390fd7ebe6e230d95)
on trouverait les termes
![{\displaystyle {\overset {.}{x}}f'(x)+{\overset {.}{x}}\,'f'(x')+{\overset {.}{x}}\,''f'(x'')+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/198e2a65a66a7e84423fd0aaba602eafe9c22221)
à ajouter à la variation
et, en désignant ces termes par la formules
![{\displaystyle n{\overset {.}{x}}+p{\overset {.}{x}}\,'+q{\overset {.}{x}}\,''+r{\overset {.}{x}}\,'''+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f270badfcb0c36fb7c41e16ef84bedf87c32ac90)
on parviendrait, par des opérations relatives à la variation
et analogues à celles qu’on
employées pour la variation
à la transformée
![{\displaystyle \left(n-p'+q''-r'''+\ldots \right){\overset {.}{x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f64f08b3f9f57cb25d706b164605bf6a3eb686b5)
De sorte que la partie de la valeur de
qui ne serait pas une dérivée exacte serait
![{\displaystyle \left(\mathrm {N-P'+Q''-R'''} +\ldots \right){\overset {.}{y}}+\left(n-p'+q''-r'''+\ldots \right){\overset {.}{x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf6e0b9fc107a40dd1d99c88b95e8c8bff7cddcf)
Lorsque
est censée une fonction de
et qu’on peut par conséquent faire
nous venons de voir que la variation simultanée de
et de
donne, pour la partie de
qui n’est pas une dérivée exacte, la formule
![{\displaystyle \left(\mathrm {N-P'+Q''-R'''} +\ldots \right)\left({\overset {.}{y}}-y'{\overset {.}{x}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/130db4b034946e7a7f64ea772fdd82a574e296a6)
Il faut donc alors que la formule précédente coïncide avec celle-ci, et que l’on ait par conséquent
![{\displaystyle n-p'+q''-r'''+\ldots =-y'\left(\mathrm {N-P'+Q''-R'''} +\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fefcaa9541dc49c8293a6dd65c5231a8b007378e)