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D’où l’on voit que l’équation

$n-p'+q''-r'''+\ldots =0,$

que donnerait la variation de $x,$ est toujours équivalente à l’équation

$\mathrm {N-P'+Q''-R'''} +\ldots =0$

qui provient de la variation de $y.$

En effet, nous avons déjà trouvé par une, autre voie, dans la Leçon précédente, que ces équations ont toujours lieu à la fois.

Un des avantages du calcul des variations est de pouvoir faire varier indistinctement les indéterminées $x$ ou $y$ et leurs différentielles ; et l’identité des équations du maximum ou minimum, déduites de l’une et de l’autre de ces variations, a été un des premiers résultats de ce calcul auquel les anciennes méthodes n’auraient pu conduire. Mais les démonstrations qu’on en a données dans le second et le quatrième Volume des Mémoires de Turin^[1] sont moins directes que celle qui se déduit des formules qui représentent cette double variation, et que nous venons d’exposer d’après Euler. Voyez le Tome III de son Calcul intégral.

Considérons maintenant le problème dans toute sa généralité, et d’abord, soit, comme ci-dessus,

$\mathrm {V} =f(x,y,y',y'',y''',\ldots )\,;$

on aura

$\mathrm {N} =f'(y),\quad \mathrm {P} =f'(y'),\quad \mathrm {Q} =f'(y''),\quad \mathrm {R} =f'(y'''),\quad \ldots .$

Soit, de plus, pour abréger,

${\begin{aligned}&\mathrm {Y} =f'(y)\ \ \ -\left[f'(y')\,\right]'+\left[f'(y'')\,\right]''-\left[f'(y''')\right]'''+\ldots ,\\&{\overset {\shortmid }{\mathrm {Y} }}=f'(y')\ \ -\left[f'(y'')\right]'+\left[f'(y''')\right]''-\ldots ,\\&{\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}=f'(y'')\ -\left[f'(y''')\right]'+\ldots ,\\&{\overset {\shortmid \ \shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}=f'(y''')-\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

1. Œuvres de Lagrange, t. I, p. 335, et t. II, p. 37.