La variation
dans le cas où
ne varie pas, sera
![{\displaystyle {\overset {.}{\mathrm {V} }}=\mathrm {Y} {\overset {.}{y}}+\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Y} }}{\overset {.}{y}}\right)'+\left({\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}{\overset {.}{y}}\,'\right)'+\left({\overset {\shortmid \ \shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}{\overset {.}{y}}\,''\right)'+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/648601e568980699a7bc8141f2296545bbce6c29)
où les termes qui ne sont pas sous la forme de fonctions dérivées doivent s’évanouir, ce qui donne d’abord, comme on l’a vu, l’équation générale ![{\displaystyle \mathrm {Y} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90c75a8604097e96c18c4035519fe0b39a161e34)
Ensuite, à cause de
on aura la variation de
![{\displaystyle {\overset {.}{\mathrm {U} }}={\overset {\shortmid }{\mathrm {Y} }}{\overset {.}{y}}+{\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}{\overset {.}{y}}\,'+{\overset {\shortmid \ \shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}{\overset {.}{y}}\,''+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9876a7bb61a9ee0f2fbcc183608f501a04c0e958)
et l’équation aux limites sera
![{\displaystyle {\overset {.}{\mathrm {U} }}_{1}-{\overset {.}{\mathrm {U} }}_{0}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0ddf2fe75223c512561db123afe24c36bc02695)
Si l’on veut que
varie en même temps que
on changera
en
et l’on ajoutera à
le terme
Supposons, en second lieu, que la fonction proposée contienne une troisième variable
avec ses fonctions dérivées
on fera, relativement à cette variable, des opérations analogues à celles qu’on a employées pour la variable
et la valeur de
en supposant
invariable, se trouvera composée de deux parties semblables, l’une relative à
l’autre relative à
Ainsi, en supposant
![{\displaystyle \mathrm {V} =f(x,y,y',y'',\ldots ,z,z',z'',\ldots ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45691948a88a6107d01ea4c6b10972b83cda04da)
et conservant les expressions de
on fera, de plus,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {Z} =f'(z)\quad -\left[f'(z')\,\right]'+\left[f'(z'')\,\right]''-\left[f'(z''')\right]'''+\ldots ,\\&{\overset {\shortmid }{\mathrm {Z} }}\,=f'(z')\ \ -\left[f'(z'')\right]'+\left[f'(z''')\right]''-\ldots ,\\&{\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}\ =f'(z'')\ -\left[f'(z''')\right]'+\ldots ,\\&{\overset {\shortmid \ \shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}=f'(z''')-\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d335f4fbccc0535c34a123f3831478cb2fffe8c8)
et l’on aura sur-le-champ
![{\displaystyle {\overset {.}{\mathrm {V} }}=\mathrm {Y} y+\mathrm {Z} z+\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Y} }}{\overset {.}{y}}\right)'+\left({\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}{\overset {.}{y}}\,'\right)'+\left({\overset {\shortmid \ \shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}{\overset {.}{y}}\,''\right)'+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52a71da49bd7afaea72c38f53ae9ee594630da59)
![{\displaystyle +\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Z} }}{\overset {.}{z}}\right)'+\left({\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}{\overset {.}{z}}\,'\right)'+\left({\overset {\shortmid \ \shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}{\overset {.}{z}}\,''\right)'+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/362fded8bc8b390dfbaf50acd5725c99a88e5ac6)