Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 10.djvu/415

La variation ${\overset {.}{\mathrm {V} }},$ dans le cas où $x$ ne varie pas, sera

${\overset {.}{\mathrm {V} }}=\mathrm {Y} {\overset {.}{y}}+\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Y} }}{\overset {.}{y}}\right)'+\left({\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}{\overset {.}{y}}\,'\right)'+\left({\overset {\shortmid \ \shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}{\overset {.}{y}}\,''\right)'+\ldots ,$

où les termes qui ne sont pas sous la forme de fonctions dérivées doivent s’évanouir, ce qui donne d’abord, comme on l’a vu, l’équation générale $\mathrm {Y} =0.$

Ensuite, à cause de ${\overset {.}{\mathrm {V} }}={\overset {.}{\mathrm {U} }}\,',$ on aura la variation de $\mathrm {U} ,$

${\overset {.}{\mathrm {U} }}={\overset {\shortmid }{\mathrm {Y} }}{\overset {.}{y}}+{\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}{\overset {.}{y}}\,'+{\overset {\shortmid \ \shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}{\overset {.}{y}}\,''+\ldots ,$

et l’équation aux limites sera

${\overset {.}{\mathrm {U} }}_{1}-{\overset {.}{\mathrm {U} }}_{0}=0.$

Si l’on veut que $x$ varie en même temps que $y,$ on changera $y$ en ${\overset {.}{y}}-y'{\overset {.}{x}},$ et l’on ajoutera à ${\overset {.}{\mathrm {U} }}$ le terme $\mathrm {V} {\overset {.}{x}}.$

Supposons, en second lieu, que la fonction proposée contienne une troisième variable $z,$ avec ses fonctions dérivées $z',z'',\ldots \,;$ on fera, relativement à cette variable, des opérations analogues à celles qu’on a employées pour la variable $y,$ et la valeur de $\mathrm {V} ,$ en supposant $x$ invariable, se trouvera composée de deux parties semblables, l’une relative à $y,$ l’autre relative à $z.$

Ainsi, en supposant

$\mathrm {V} =f(x,y,y',y'',\ldots ,z,z',z'',\ldots ),$

et conservant les expressions de $\mathrm {Y,{\overset {\shortmid }{Y}},{\overset {\shortmid \ \shortmid }{Y}}} ,\ldots ,$ on fera, de plus,

${\begin{aligned}&\mathrm {Z} =f'(z)\quad -\left[f'(z')\,\right]'+\left[f'(z'')\,\right]''-\left[f'(z''')\right]'''+\ldots ,\\&{\overset {\shortmid }{\mathrm {Z} }}\,=f'(z')\ \ -\left[f'(z'')\right]'+\left[f'(z''')\right]''-\ldots ,\\&{\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}\ =f'(z'')\ -\left[f'(z''')\right]'+\ldots ,\\&{\overset {\shortmid \ \shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}=f'(z''')-\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

et l’on aura sur-le-champ

${\overset {.}{\mathrm {V} }}=\mathrm {Y} y+\mathrm {Z} z+\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Y} }}{\overset {.}{y}}\right)'+\left({\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}{\overset {.}{y}}\,'\right)'+\left({\overset {\shortmid \ \shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}{\overset {.}{y}}\,''\right)'+\ldots$

$+\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Z} }}{\overset {.}{z}}\right)'+\left({\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}{\overset {.}{z}}\,'\right)'+\left({\overset {\shortmid \ \shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}{\overset {.}{z}}\,''\right)'+\ldots .$