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Les termes $\mathrm {Y} {\overset {.}{y}}+\mathrm {Z} {\overset {.}{z}},$ qui ne sauraient être des fonctions dérivées exactes, tant que ${\overset {.}{y}}$ et ${\overset {.}{z}}$ ont des valeurs arbitraires, doivent être détruits, ce qui donnera d’abord l’équation générale

$\mathrm {Y} {\overset {.}{y}}+\mathrm {Z} {\overset {.}{z}}=0,$

à laquelle on satisfera de différentes manières, suivant que les variables $y$ et $z$ seront indépendantes l’une de l’autre, ou qu’elles seront liées entre elles par des relations données.

On aura ensuite, en prenant les fonctions primitives, à cause de ${\overset {.}{\mathrm {V} }}={\overset {.}{\mathrm {U} }}\,',$ l’équation

${\overset {.}{\mathrm {U} }}={\overset {\shortmid }{\mathrm {Y} }}{\overset {.}{y}}+{\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}{\overset {.}{y}}\,'+{\overset {\shortmid \ \shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}{\overset {.}{y}}\,''+\ldots +{\overset {\shortmid }{\mathrm {Z} }}{\overset {.}{z}}+{\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}{\overset {.}{z}}\,'+{\overset {\shortmid \ \shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}{\overset {.}{z}}\,''+\ldots \,;$

c’est la valeur qu’il faudra substituer dans l’équation aux limites

$\mathrm {{\overset {.}{U}}_{1}-{\overset {.}{U}}_{0}} =0.$

Si l’on veut que $x$ varie aussi, on changera ${\overset {.}{y}}$ et ${\overset {.}{z}}$ en ${\overset {.}{y}}-y'{\overset {.}{x}},\ {\overset {.}{z}}-z'{\overset {.}{x}},$ et l’on ajoutera à ${\overset {.}{\mathrm {U} }}$ le terme $\mathrm {V} {\overset {.}{x}}.$

Reprenons l’équation $\mathrm {Y} {\overset {.}{y}}+\mathrm {Z} {\overset {.}{z}}=0.$ S’il n’y a aucune relation donnée par les conditions du problème entre $x$ et $y,$ leurs variations seront indépendantes l’une de l’autre, et l’on ne pourra vérifier l’équation dont il s’agit qu’en faisant séparément

$\mathrm {Y} =0,\quad \mathrm {Z} =0,$

deux équations qui serviront à déterminer $y$ et $z$ en fonctions de $x.$

Mais, si les variables $y$ et $z$ étaient liées par une équation de condition entre $x,y,z,$ que nous représenterons par

$\operatorname {F} (x,y,z)=0,$

il faudrait tirer de cette équation la valeur de $z$ en $x$ et $y,$ et la substituer dans l’expression de $\mathrm {V} \,;$ mais, pour faire usage de l’équation $\mathrm {Y} {\overset {.}{y}}+\mathrm {Z} {\overset {.}{z}}=0,$ il suffit d’avoir le rapport entre les variations ${\overset {.}{y}}$ et ${\overset {.}{z}}\,;$ et pour cela, il n’y a qu’à considérer que, la relation entre les quantités $x,y,z$ devant subsister aussi dans l’état varié, l’équation