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$\operatorname {F} (x,y,z)=0$ devra avoir lieu aussi en y mettant $x+i{\overset {.}{x}}$ au lieu de $x,$ et $y+i{\overset {.}{y}}+{\frac {i^{2}}{2}}{\overset {.}{y}}+\ldots ,\ z+i{\overset {.}{z}}+{\frac {i^{2}}{2}}{\overset {.}{z}}+\ldots$ au lieu de $y$ et $z,$ quelle que soit la quantité $i.$ D’où et de ce qui a été démontré dans les premières Leçons, il est facile de conclure que les dérivées de cette équation, relatives aux variations de $x,y,z,$ devront avoir lieu aussi. De sorte que l’équation de condition $\operatorname {F} (x,y,z)=0$ donnera les équations variées

$\operatorname {\overset {.}{F}} (x,y,z)=0,\quad \operatorname {\overset {..}{F}} (x,y,z)=0,\quad \ldots .$

Or, en regardant $x$ comme invariable, on a

$\operatorname {\overset {.}{F}} (x,y,z)={\overset {.}{y}}\operatorname {F} '(y)+{\overset {.}{z}}\operatorname {F} '(z),$

puisque l’algorithme des variations est le même que celui des dérivées.

Ainsi on aura l’équation

${\overset {.}{y}}\operatorname {F} '(y)+{\overset {.}{z}}\operatorname {F} '(z)=0,$

d’où l’on tire le rapport de ${\overset {.}{y}}$ à ${\overset {.}{z}},$ lequel, étant ensuite substitué dans l’équation $\mathrm {Y} {\overset {.}{y}}+\mathrm {Z} {\overset {.}{z}}=0$ du maximum ou minimum, donnera celle-ci

$\mathrm {Y} \operatorname {F} '(z)-\mathrm {Z} \operatorname {F} '(y)=0,$

qui, étant combinée avec l’équation de condition $\operatorname {F} (x,y,z)=0,$ servira à déterminer les valeurs de $y$ et $z$ en $x.$

Nous avons supposé dans le calcul précédent que $x$ ne variait pas. Si l’on voulait tenir compte des variations de $x,$ on aurait, à la place de l’équation $\mathrm {Y} {\overset {.}{y}}+\mathrm {Z} {\overset {.}{z}}=0,$ celle-ci

$\mathrm {Y} \left({\overset {.}{y}}-y'{\overset {.}{x}}\right)+\mathrm {Z} \left({\overset {.}{z}}-z'{\overset {.}{x}}\right)=0.$

Or l’équation de condition $\operatorname {F} (x,y,z)=0$ donnerait d’un côté l’équation dérivée

$\operatorname {F} '(x)+y'\operatorname {F} '(y)+z'\operatorname {F} '(z)=0,$

et de l’autre l’équation variée

$x\operatorname {F} '(x)+{\overset {.}{y}}\operatorname {F} '(y)+z\operatorname {F} '(z)=0\,;$