substituant dans celle-ci la valeur de 
tirée de la précédente, on aura
Et cette équation, combinée avec l’équation ci-dessus, donnera également l’équation
On voit par là, en général, que la variation de 
n’influe que sur l’équation aux limites, et nullement sur l’équation générale du maximum ou minimum.
Supposons maintenant, pour embrasser le problème dans toute son étendue, que l’équation de condition entre 
contienne aussi les dérivées de 
et de 
et soit en général de la forme
on tirera de là l’équation variée
laquelle, en n’ayant égard qu’aux variations de 
se développera ainsi :
Comme les dérivées de 
ne paraissent dans cette équation que sous la forme linéaire, il est possible d’en déduire l’expression de 
en employant la méthode des multiplicateurs et prenant successivement les fonctions primitives ; mais de cette manière on entre dans des calculs longs et compliqués, et il est beaucoup plus simple d’employer les multiplicateurs, de la manière dont on a usé dans la Mécanique analytique, qui est toute fondée sur le calcul des variations.
On se contentera donc de multiplier le premier membre de cette équation par un coefficient indéterminé 
et de l’ajouter à l’expression précédente de la variation 
en ayant soin en même temps de transformer tous les nouveaux termes de manière que les fonctions dérivées des variations 
et ne se trouvent que dans des fonctions dérivées
