substituant dans celle-ci la valeur de
tirée de la précédente, on aura
![{\displaystyle \left({\overset {.}{y}}-y'{\overset {.}{x}}\right)\operatorname {F} '(y)+\left({\overset {.}{z}}-z'{\overset {.}{x}}\right)\operatorname {F} '(z)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2206e87ced84fd3a036be1d6dbe26cb17258ee61)
Et cette équation, combinée avec l’équation ci-dessus, donnera également l’équation
![{\displaystyle \mathrm {Y} \operatorname {F} '(z)-\mathrm {Z} \operatorname {F} '(y)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c63199451fe213fc910720a9d95b5807ef3e2ccc)
On voit par là, en général, que la variation de
n’influe que sur l’équation aux limites, et nullement sur l’équation générale du maximum ou minimum.
Supposons maintenant, pour embrasser le problème dans toute son étendue, que l’équation de condition entre
contienne aussi les dérivées de
et de
et soit en général de la forme
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,y',y'',\ldots ,z,z',z'',\ldots )=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28e7c1774b23f587ecfd3beb02312ebdcdb4d266)
on tirera de là l’équation variée
![{\displaystyle \operatorname {\overset {.}{F}} (x,y,y',y'',\ldots ,z,z',z'',\ldots )=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8ecf6052d97f4ef4a501dea8c2dfe10bb9f56c9)
laquelle, en n’ayant égard qu’aux variations de
se développera ainsi :
![{\displaystyle {\overset {.}{y}}\operatorname {F} '(y)+{\overset {.}{y}}\,'\operatorname {F} '(y)+{\overset {.}{y}}\,''\operatorname {F} '(y)+\ldots +{\overset {.}{z}}\operatorname {F} '(z)+{\overset {.}{z}}\,'\operatorname {F} '(z)+{\overset {.}{z}}\,''\operatorname {F} '(z)+\ldots =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ac92da3e6746e3a3e9da9d2f403d053ec91f5ec)
Comme les dérivées de
ne paraissent dans cette équation que sous la forme linéaire, il est possible d’en déduire l’expression de
en employant la méthode des multiplicateurs et prenant successivement les fonctions primitives ; mais de cette manière on entre dans des calculs longs et compliqués, et il est beaucoup plus simple d’employer les multiplicateurs, de la manière dont on a usé dans la Mécanique analytique, qui est toute fondée sur le calcul des variations.
On se contentera donc de multiplier le premier membre de cette équation par un coefficient indéterminé
et de l’ajouter à l’expression précédente de la variation
en ayant soin en même temps de transformer tous les nouveaux termes de manière que les fonctions dérivées des variations
et
ne se trouvent que dans des fonctions dérivées