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exactes, comme on l’a pratiqué à l’égard des termes de la valeur de ${\overset {.}{\mathrm {V} }}.$ On aura ainsi une nouvelle expression de $\mathrm {\overset {.}{V}} ,$ dans laquelle on pourra maintenant traiter les variations de ${\overset {.}{y}}$ et de ${\overset {.}{z}}$ comme indépendantes, à raison de l’indéterminée $\lambda .$

Soient, pour abréger,

${\begin{aligned}&\ (\mathrm {Y} )\,\ =\lambda \operatorname {F} '(y)\,\ -\left[\lambda \operatorname {F} '(y')\,\right]'+\left[\lambda \operatorname {F} '(y'')\,\right]''-\ldots ,\\&\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Y} }}\right)=\lambda \operatorname {F} '(y')\,-\left[\lambda \operatorname {F} '(y'')\right]'+\ldots ,\\&\left({\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}\right)=\lambda \operatorname {F} '(y'')-\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&\ (\mathrm {Z} )\,\ =\lambda \operatorname {F} '(z)\,\ -\left[\lambda \operatorname {F} '(z')\,\right]'+\left[\lambda \operatorname {F} '(z'')\,\right]''-\ldots ,\\&\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Z} }}\right)=\lambda \operatorname {F} '(z')\,-\left[\lambda \operatorname {F} '(z'')\right]'+\ldots ,\\&\left({\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}\right)=\lambda \operatorname {F} '(z'')-\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Les termes à ajouter à l’expression de la variation ${\overset {.}{\mathrm {V} }}$ seront

${\begin{aligned}&\quad (\mathrm {Y} ){\overset {.}{y}}+(\mathrm {Z} ){\overset {.}{z}}\\+&\left[\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Y} }}\right){\overset {.}{y}}\right]'+\left[\left({\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}\right){\overset {.}{y}}\,'\right]'+\ldots \\+&\left[\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Z} }}\,\right){\overset {.}{z}}\right]'+\left[\left({\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}\,\right){\overset {.}{z}}\,'\right]'+\ldots .\end{aligned}}$

Donc, puisqu’on peut maintenant regarder les variations ${\overset {.}{y}}$ et ${\overset {.}{z}}$ comme indépendantes, on aura d’abord, par les principes posés ci-dessus, les deux équations générales du maximum ou minimum

$\mathrm {Y+(Y)=0,\quad Z+(Z)} =0,$

entre lesquelles il faudrait éliminer l’indéterminée $\lambda ,$ et l’équation résultante, combinée avec l’équation de condition, donnera les valeurs de $y$ et $z$ en $x.$

Ensuite la variation ${\overset {.}{\mathrm {U} }}$ deviendra

${\begin{aligned}\mathrm {\overset {.}{U}} &=\mathrm {\left[{\overset {\shortmid }{\mathrm {Y} }}+\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Y} }}\right)\right]} {\overset {.}{y}}+\mathrm {\left[{\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}+\left({\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}\right)\right]} {\overset {.}{y}}\,'+\ldots \\&+\mathrm {\left[{\overset {\shortmid }{\mathrm {Z} }}\,+\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Z} }}\,\right)\right]} {\overset {.}{z}}\,+\mathrm {\left[{\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}\,+\left({\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}\,\right)\right]} {\overset {.}{z}}\,'+\ldots ,\end{aligned}}$