exactes, comme on l’a pratiqué à l’égard des termes de la valeur de
On aura ainsi une nouvelle expression de
dans laquelle on pourra maintenant traiter les variations de
et de
comme indépendantes, à raison de l’indéterminée
Soient, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\ (\mathrm {Y} )\,\ =\lambda \operatorname {F} '(y)\,\ -\left[\lambda \operatorname {F} '(y')\,\right]'+\left[\lambda \operatorname {F} '(y'')\,\right]''-\ldots ,\\&\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Y} }}\right)=\lambda \operatorname {F} '(y')\,-\left[\lambda \operatorname {F} '(y'')\right]'+\ldots ,\\&\left({\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}\right)=\lambda \operatorname {F} '(y'')-\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&\ (\mathrm {Z} )\,\ =\lambda \operatorname {F} '(z)\,\ -\left[\lambda \operatorname {F} '(z')\,\right]'+\left[\lambda \operatorname {F} '(z'')\,\right]''-\ldots ,\\&\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Z} }}\right)=\lambda \operatorname {F} '(z')\,-\left[\lambda \operatorname {F} '(z'')\right]'+\ldots ,\\&\left({\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}\right)=\lambda \operatorname {F} '(z'')-\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e8b37f617b0a7f0ad279a0fff6a3dcb09241a53)
Les termes à ajouter à l’expression de la variation
seront
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\quad (\mathrm {Y} ){\overset {.}{y}}+(\mathrm {Z} ){\overset {.}{z}}\\+&\left[\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Y} }}\right){\overset {.}{y}}\right]'+\left[\left({\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}\right){\overset {.}{y}}\,'\right]'+\ldots \\+&\left[\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Z} }}\,\right){\overset {.}{z}}\right]'+\left[\left({\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}\,\right){\overset {.}{z}}\,'\right]'+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1dd037f8402ae4659eff158eabb838583aa0399)
Donc, puisqu’on peut maintenant regarder les variations
et
comme indépendantes, on aura d’abord, par les principes posés ci-dessus, les deux équations générales du maximum ou minimum
![{\displaystyle \mathrm {Y+(Y)=0,\quad Z+(Z)} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/300e60b64524ea8b8c2e48d40e07da13c2eeb0b3)
entre lesquelles il faudrait éliminer l’indéterminée
et l’équation résultante, combinée avec l’équation de condition, donnera les valeurs de
et
en ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
Ensuite la variation
deviendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {\overset {.}{U}} &=\mathrm {\left[{\overset {\shortmid }{\mathrm {Y} }}+\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Y} }}\right)\right]} {\overset {.}{y}}+\mathrm {\left[{\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}+\left({\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}\right)\right]} {\overset {.}{y}}\,'+\ldots \\&+\mathrm {\left[{\overset {\shortmid }{\mathrm {Z} }}\,+\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Z} }}\,\right)\right]} {\overset {.}{z}}\,+\mathrm {\left[{\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}\,+\left({\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}\,\right)\right]} {\overset {.}{z}}\,'+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e7d1b3d0688d3644b9d2b0b71917754ec1cc454)