valeur qu’on substituera dans l’équation aux limites
![{\displaystyle {\overset {.}{\mathrm {U} }}_{1}-{\overset {.}{\mathrm {U} }}_{0}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0ddf2fe75223c512561db123afe24c36bc02695)
Si l’on veut avoir égard en même temps à la variation de
on ajoutera à
le terme
et l’on changera les quantités
et leurs dérivées en
et dans les dérivées de celles-ci.
Il faudrait, à la rigueur, dans ce cas, ajouter à la valeur de
le terme
d’après les formules trouvées plus haut pour la valeur complète de la variation de
Ce terme se transforme en
mais il disparaît ici en vertu de l’équation
Il faudrait néanmoins le conserver si l’équation de condition n’était donnée que par l’équation variée
Dans l’équation aux limites, on pourra regarder aussi les variations
et
ainsi que leurs dérivées, comme indépendantes, à moins que la nature du problème ne donne aussi des conditions particulières aux limites.
Supposons, par exemple, que l’on ait une ou plusieurs équations de condition entre les quantités
rapportées aux deux limites, c’est-à-dire entre les quantités
et que le maximum ou minimum ne doive avoir lieu que parmi les fonctions qui, prises entre les limites données, satisfont à ces conditions ; il faudra que les mêmes équations subsistent dans l’état varié, c’est-à-dire en y mettant
à la place de
par conséquent on aura aussi les variations de ces équations, comme nous l’avons déjà vu plus haut.
Désignons par
![{\displaystyle \Phi (x_{0},y_{0},y_{0}',\ldots ,z_{0},z_{0}',\ldots ,x_{1},y_{1},y_{1}',\ldots ,z_{1},z_{1}',\ldots )=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cbc239eddb1e0953b2f6f6b560d6e60eb9ad177)
une de ces équations de condition ; elle donnera l’équation variée
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x_{0}\Phi '(x_{0})+{\overset {.}{y}}_{0}\Phi '(y_{0})+{\overset {.}{z}}_{0}\Phi '(z_{0})+{\overset {.}{y}}_{0}'\Phi '(y_{0}')+\ldots \\+&{\overset {.}{x}}_{1}\Phi '(x_{1})+{\overset {.}{y}}_{1}\Phi '(y_{1})+{\overset {.}{z}}_{1}\Phi '(z_{1})+{\overset {.}{y}}_{1}'\Phi '(y_{1}')+\ldots =0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8573b7c2378ce6a4292d2a2ec62ab6d23fa5d5c9)