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On multipliera cette équation et les autres semblables par des coefficients indéterminés $\alpha ,\beta ,\ldots ,$ et on les ajoutera à l’équation des limites données ci-dessus, après quoi on pourra traiter toutes les variations

${\overset {.}{x}}_{0},{\overset {.}{x}}_{1},\ \ {\overset {.}{y}}_{0},{\overset {.}{y}}_{0}',{\overset {.}{y}}_{0}'',\ldots ,\ \ {\overset {.}{y}}_{1},{\overset {.}{y}}_{1}',{\overset {.}{y}}_{1}'',\ldots ,\ \ {\overset {.}{z}}_{1},{\overset {.}{z}}_{1}',{\overset {.}{z}}_{1}'',\ldots$

comme indépendantes, et égaler à zéro chacun de leurs coefficients, ce qui donnera autant d’équations particulières aux limites qu’il y aura de ces variations. On satisfera ensuite à ces équations par le moyen des coefficients arbitraires $\alpha ,\beta ,\ldots$ et des constantes arbitraires qui entreront dans les expressions de $y,z$ en $x.$

À l’égard des variations ${\overset {.}{z}}_{0},{\overset {.}{z}}_{0}',\ldots ,{\overset {.}{z}}_{1},{\overset {.}{z}}_{1}',\ldots ,$ il est bon de remarquer que, la fonction $z$ étant donnée par une équation dérivée, si cette équation est de l’ordre $n$ par rapport à $z,$ les valeurs de $z,z',z'',\ldots ,z^{(n-1)},$ correspondantes à une valeur donnée de $x,$ seront arbitraires et devront être déterminées par les conditions du problème. Ainsi, en rapportant ces valeurs à la première limite, il faudra regarder les quantités $z_{0},z_{0}',\ldots ,z_{0}^{(n-1)}$ comme des fonctions données de $x_{0},y_{0},y_{0}',\ldots \,;$ donc les variations ${\overset {.}{z}}_{0},{\overset {.}{z}}_{0}',\ldots$ seront aussi données en fonctions de $x_{0},y_{0},y_{0}',\ldots$ multipliées par les variations ${\overset {.}{x}}_{0},{\overset {.}{y}}_{0},{\overset {.}{y}}_{0}',\ldots .$ Alors les variations ${\overset {.}{z}}_{1},{\overset {.}{z}}_{1}',{\overset {.}{z}}_{1}'',$ qui se rapportent à la seconde limite, seront absolument indéterminées, et il faudra les faire évanouir en égalant leurs coefficients à zéro.

On pourrait demander que la fonction $z$ donnée par l’équation de condition fût elle-même un maximum ou un minimum. Il n’y aurait alors qu’à supposer $\mathrm {U} =z,$ et par conséquent $\mathrm {V} =z'.$

On aurait donc dans ce cas

$f'(y)=0,\quad f'(y')=0,\quad \ldots ,\quad f'(z)=0,\quad f'(z')=1,\quad f'(z'')=1,\quad \ldots .$

Donc

$\mathrm {Y=0,\quad {\overset {\shortmid }{\mathrm {Y} }}=0,\quad \ldots ,\quad Z=0,\quad {\overset {\shortmid }{\mathrm {Z} }}=1,\quad {\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}} =0,\quad \ldots ,$

Les équations générales du maximum ou minimum seraient donc simplement

$(\mathrm {Y} )=0,\quad (\mathrm {Z} )=0,$