On multipliera cette équation et les autres semblables par des coefficients indéterminés
et on les ajoutera à l’équation des limites données ci-dessus, après quoi on pourra traiter toutes les variations
![{\displaystyle {\overset {.}{x}}_{0},{\overset {.}{x}}_{1},\ \ {\overset {.}{y}}_{0},{\overset {.}{y}}_{0}',{\overset {.}{y}}_{0}'',\ldots ,\ \ {\overset {.}{y}}_{1},{\overset {.}{y}}_{1}',{\overset {.}{y}}_{1}'',\ldots ,\ \ {\overset {.}{z}}_{1},{\overset {.}{z}}_{1}',{\overset {.}{z}}_{1}'',\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/466557bfa916ce5e0b6e49a39dee0be6b6b2258a)
comme indépendantes, et égaler à zéro chacun de leurs coefficients, ce qui donnera autant d’équations particulières aux limites qu’il y aura de ces variations. On satisfera ensuite à ces équations par le moyen des coefficients arbitraires
et des constantes arbitraires qui entreront dans les expressions de
en ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
À l’égard des variations
il est bon de remarquer que, la fonction
étant donnée par une équation dérivée, si cette équation est de l’ordre
par rapport à
les valeurs de
correspondantes à une valeur donnée de
seront arbitraires et devront être déterminées par les conditions du problème. Ainsi, en rapportant ces valeurs à la première limite, il faudra regarder les quantités
comme des fonctions données de
donc les variations
seront aussi données en fonctions de
multipliées par les variations
Alors les variations
qui se rapportent à la seconde limite, seront absolument indéterminées, et il faudra les faire évanouir en égalant leurs coefficients à zéro.
On pourrait demander que la fonction
donnée par l’équation de condition fût elle-même un maximum ou un minimum. Il n’y aurait alors qu’à supposer
et par conséquent
On aurait donc dans ce cas
![{\displaystyle f'(y)=0,\quad f'(y')=0,\quad \ldots ,\quad f'(z)=0,\quad f'(z')=1,\quad f'(z'')=1,\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e03751aef1477c66485704acb7a5a2dad744707a)
Donc
![{\displaystyle \mathrm {Y=0,\quad {\overset {\shortmid }{\mathrm {Y} }}=0,\quad \ldots ,\quad Z=0,\quad {\overset {\shortmid }{\mathrm {Z} }}=1,\quad {\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}} =0,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ea253a1d7c034882289ae391e5dce15a93973e2)
Les équations générales du maximum ou minimum seraient donc simplement
![{\displaystyle (\mathrm {Y} )=0,\quad (\mathrm {Z} )=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f5d996fea0547bb89a5b81b0662b58d3cca54de)