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Or, dans l’application de l’Analyse à la Géométrie, on démontre que les deux droites représentées par ces équations, si elles se coupent, font entre elles un angle dont le cosinus est

${\frac {1+y'_{0}(y')_{0}+z'_{0}(z')_{0}}{{\sqrt {1+y_{0}^{'2}+z_{0}^{'2}}}{\sqrt {1+(y')_{0}^{2}+(z')_{0}^{2}}}}}$

(voyez les feuilles de l’Analyse de Monge). Donc puisque, dans le cas présent, le numérateur de cette expression devient nul, il s’ensuit que l’angle des deux droites sera droit ; par conséquent, il faudra que la ligne la plus courte coupe à angles droits la courbe qui forme la première limite.

On parviendra de la même manière à une conclusion semblable pour l’autre limite. D’où il résulte que la ligne la plus courte qu’on puisse mener entre deux courbes quelconques est toujours la droite qui coupera ces courbes à angle droit. Ce théorème est connu depuis longtemps et se démontre de différentes manières ; mais aucune n’est aussi directe que celle que fournit l’analyse précédente.

Mais, si, au lieu d’une simple ligne, il y avait une surface pour servir de limite à la ligne la plus courte, désignant par

$\Phi (x,y,z)=0,$

la surface de la première limite, elle donnerait cette équation variée

${\overset {.}{x}}_{0}\Phi '(x)+{\overset {.}{y}}_{0}\Phi '(y)+{\overset {.}{z}}_{0}\Phi '(z)=0,$

qu’il faudrait combiner avec l’équation de la première limite trouvée ci-dessus,

${\overset {.}{x}}_{0}+y_{0}'{\overset {.}{y}}_{0}+z_{0}'{\overset {.}{z}}_{0}=0.$

Substituantdans l’équation précédente la valeur de ${\overset {.}{x}}_{0}$ tirée de celle-ci, on aura

$\left[\Phi '(y)-y'_{0}\Phi '(x)\right]{\overset {.}{y}}_{0}+\left[\Phi '(z)-z'_{0}\Phi '(x)\right]{\overset {.}{z}}_{0}=0,$

d’où, à cause que les variations $y_{0},z_{0}$ doivent demeurer indéterminées, on tire ces deux-ci :

$\Phi '(y)-y'_{0}\Phi '(x)=0,\quad \Phi '(z)-z'_{0}\Phi '(x)=0,$