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auxquelles il faudra satisfaire par deux des constantes arbitraires de la ligne la plus courte.

On trouvera deux équations semblables pour la seconde limite, si elle est aussi formée par une surface donnée.

Pour voir maintenant ce que signifient ces équations, on remarquera que l’équation de la surface

$\Phi (x,y,z)=0$

donne la dérivée

$x'\varphi '(x)+y'\varphi '(y)+z'\Phi '(z)=0,$

dont la primitive, en regardant les coefficients de $x',y',z'$ comme constants, savoir

$x\Phi '(x)+y\Phi '(y)+z\Phi '(z)+\alpha =0,$

représente le plan tangent à cette surface, comme on le sait par la théorie des courbes, $\alpha$ étant une constante arbitraire par rapport à $x,y,z.$

Substituons dans cette équation les valeurs de $\Phi '(y)$ et $\Phi '(z)$ tirées des deux équations trouvées ci-dessus ; elle deviendra, en la divisant par $\Phi '(x)$ qui est regardée ici comme constante,

$x+y'_{0}y+z'_{0}z+{\frac {\alpha }{\Phi '(x)}}=0.$

D’un autre côté, on sait que cette équation représente aussi un plan perpendiculaire à la droite dont les équations seraient

$y=y'_{0}x+\mu ,\quad z=z'_{0}x+\nu$

(voyez les feuilles citées), les quantités $y'_{0}$ et $z'_{0}$ étant regardées ici comme constantes, ainsi que $\mu$ et $\nu .$ Donc, puisque ces équations sont celles de la tangente à l’extrémité de la ligne la plus courte, que nous regardons en général comme une courbe quelconque, il s’ensuit que les deux équations données plus haut expriment que la ligne la plus courte doit rencontrer la surface donnée à angles droits.

Et, comme la même conclusion aurait lieu aussi pour l’autre limite, si elle était formée par une surface, il en résulte que la ligne la plus