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courte entre deux surfaces données sera encore la droite qui rencontre ces surfaces à angles droits.

Jusqu’ici nous n’avons cherché que la ligne la plus courte parmi toutes les lignes possibles qu’on peut mener entre des points, ou des lignes, ou des surfaces données ; problème que la simple Géométrie peut résoudre, parce qu’on sait que dans un plan la ligne la plus courte est la ligne droite. Mais, si l’on demande en général la ligne la plus courte sur une surface quelconque donnée, le problème dépend alors essentiellement de la méthode des variations, et les formules trouvées ci-dessus s’y appliquent avec la même facilité.

Soit

$\operatorname {F} (x,y,z)=0$

l’équation de la surface donnée ; elle donnera l’équation variée

${\overset {.}{y}}\operatorname {F} '(y)+{\overset {.}{z}}\operatorname {F} '(z)=0,$

laquelle étant combinée avec l’équation générale du maximum ou minimum trouvée plus haut,

$\left({\frac {y'}{\mathrm {V} }}\right)'{\overset {.}{y}}+\left({\frac {z'}{\mathrm {V} }}\right)'{\overset {.}{z}}=0,$

produit celle-ci

$\left({\frac {y'}{\mathrm {V} }}\right)'\operatorname {F} '(z)-\left({\frac {z'}{\mathrm {V} }}\right)'\operatorname {F} '(y)=0$

pour l’équation de la ligne la plus courte sur la surface donnée. Ensuite on aura l’équation aux limites

${\overset {.}{\mathrm {U} }}_{1}-{\overset {.}{\mathrm {U} }}_{0}=0,$

dans laquelle on a en général

${\overset {.}{\mathrm {U} }}={\frac {y'{\overset {.}{y}}+z'{\overset {.}{z}}}{\mathrm {V} }}\,;$

et, si l’on veut avoir égard aussi à la variation de $x,$ on aura

${\overset {.}{\mathrm {U} }}={\frac {{\overset {.}{x}}+y'{\overset {.}{y}}+z'{\overset {.}{z}}}{\mathrm {V} }},$

comme on l’a trouvé plus haut.