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Il faudrait ici substituer pour $z$ sa valeur tirée de l’équation variée

${\overset {.}{x}}\operatorname {F} '(x)+{\overset {.}{y}}\operatorname {F} '(y)+{\overset {.}{z}}\operatorname {F} '(z)=0.$

Mais, en faisant abstraction de la surface, l’expression précédente de $\mathrm {\overset {.}{U}}$ conduit directement aux mêmes conclusions qu’on a trouvées plus haut relativement aux limites, c’est-à-dire que la ligne la plus courte tracée sur la surface donnée devra aussi couper à angles droits les courbes qui lui serviront de limites.

À l’égard de la nature de la ligne la plus courte sur une surface, elle jouit d’une propriété particulière et caractéristique, par laquelle on peut la déterminer indépendamment de la considération du minimum c’est que ses rayons osculateurs sont tous perpendiculaires à la surface. En effet, il est clair que cette ligne doit être celle suivant laquelle se dirigera un fil tendu sur la surface donnée, et il est facile de concevoir, en même temps, que le fil tendu ne peut être en $\xi ,$ équilibre qu’autant que la pression résultante de la tension, et dont la direction est suivant le rayon osculateur, sera perpendiculaire à la surface. Pour voir comment la propriété dont il s’agit résulte de l’équation trouvée pour la ligne la plus courte, nous remarquerons d’abord que l’équation du plan tangent à la surface représentée par l’équation

$\operatorname {F} (x,y,z)=0$

est, comme on l’a vu plus haut,

$x\operatorname {F} '(x)+y\operatorname {F} '(y)+z\operatorname {F} '(z)+\alpha =0,$

les fonctions $\operatorname {F} '(x),\operatorname {F} '(y),\operatorname {F} '(z)$ étant regardées comme constantes ; ainsi que la quantité $\alpha .$

Nous remarquerons ensuite que, si l’on représente par

$x+\mathrm {A} y+\mathrm {B} z+\mathrm {C} =0$

l’équation du plan du cercle osculateur d’une ligne à double courbur, il faut que cette équation et ses deux dérivées, prime et seconde, aient lieu en prenant les coordonnées $x,y,z$ du plan pour celles de la courbe donnée, et en regardant dans la formation des dérivées les coef-