ficients
comme constants ; c’est ce qui résulte de la théorie du contact des courbes exposée dans la Théorie des Fonctions[1].
On aura donc ainsi les deux équations dérivées, dans lesquelles
![{\displaystyle 1+\mathrm {A} y'+\mathrm {B} z'=0,\quad \mathrm {A} y''+\mathrm {B} z''=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5542b30cc6524ff1aee67f976c9ecdf928aa85c)
La dernière donne
et, cette valeur étant substituée dans la précédente, on aura
![{\displaystyle \mathrm {A} ={\frac {z''}{z'y''-y'z''}},\quad \mathrm {B} =-{\frac {y''}{z'y''-y'z''}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38d83c33ce3de151dc171b93817e311c944aec9e)
Nous remarquerons de plus qu’il suffit que le plan du cercle osculateur soit perpendiculaire au plan tangent la surface, pour que le rayon osculateur soit perpendiculaire à la surface, parce que ce rayon est nécessairement perpendiculaire à la courbe tracée sur la surface.
Or on démontre encore dans l’application de l’Analyse à la Géométrie (voyez les feuilles déjà citées) que la condition pour que deux plans représentés par les équations
![{\displaystyle x\operatorname {F} '(x)+y\operatorname {F} '(y)+z\operatorname {F} '(z)+\alpha =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3b416806d5d8fcd9e4b5df3e90545cfdb510ad7)
![{\displaystyle x+\mathrm {A} y+\mathrm {B} z+\mathrm {C} =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/945a0ea165c7a552ab9050a8346fa92963d4c930)
se coupent à angles droits, est renfermée simplement dans l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x)+\mathrm {A} \operatorname {F} '(y)+\mathrm {B} \operatorname {F} '(z)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ec66371cf49e73f4475fee8b990253dff2f5fcf)
L’équation de la surface
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,z)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0417a080fc4b7ee4e083cb7c317afec908bbb41d)
donne aussi l’équation dérivée
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x)+y'\operatorname {F} '(y)+z'\operatorname {F} '(z)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b46be14a1d1aaa712ee18148a3f45d6109e426d)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x)=-y'\operatorname {F} '(y)-z'\operatorname {F} '(z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21b6c60d549ff94e428101f05fbe3f7801aae169)
Cette valeur, substituée dans l’équation précédente, donnera celle-ci
![{\displaystyle (\mathrm {A} -y')\operatorname {F} '(y)+(\mathrm {B} -z')\operatorname {F} '(z)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f14b6a23c40e2cecf7dac6e9a424f4ef073c8d71)
- ↑ Œuvres de Lagrange, t. IX.