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laquelle, en substituant les valeurs de $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ trouvées ci-dessus, devient

$\left[z''-y'(z'y''-y'z'')\right]\operatorname {F} '(y)-\left[y''+z'(z'y''-y'z'')\right]\operatorname {F} '(z)=0.$

Or, si l’on divise le coefficient de $\operatorname {F} '(y)$ dans cette équation par ${\overset {\shortmid }{\mathrm {V} }}\,\!^{\frac {3}{2}},$ $\mathrm {V}$ étant ${\sqrt {1+y'^{2}+z'^{2}}},$ on a la dérivée de ${\frac {z'}{\mathrm {V} }},$ et de même le coefficient de $\operatorname {F} '(z)$ divisé par $\mathrm {V} ^{\frac {3}{2}}$ devient la dérivée de ${\frac {y'}{\mathrm {V} }},$ comme il est facile de s’en assurer par le calcul. Donc, en divisant toute l’équation par $\mathrm {V} ^{\frac {3}{2}},$ elle pourra se mettre sous la forme

$\left({\frac {z'}{\mathrm {V} }}\right)'\operatorname {F} '(y)-\left({\frac {y'}{\mathrm {V} }}\right)'\operatorname {F} '(z)=0,$

qui est la même que celle de l’équation que nous avons trouvée pour la ligne la plus courte.

Clairaut a remarqué le premier, dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de 1733, que, quelle que soit la figure de la Terre, la ligne qu’on y tracerait en plantant continuellement des piquets perpendiculaires à l’horizon, de manière qu’ils soient effacés les uns par les autres, comme on l’a pratiqué dans la description de la perpendiculaire à la méridienne de Paris, aurait la propriété d’être la ligne la plus courte entre tous ses points. Ainsi la détermination de cette ligne dépend de l’équation générale qu’on vient de trouver.

En supposant que la Terre soit un sphéroïde de révolution, si l’on prend l’axe des $x$ pour l’axe de la Terre, dont le centre soit l’origine des coordonnées, et qu’on nomme $r$ l’ordonnée de la courbe des méridiens, on aura

$r={\sqrt {y^{2}+z^{2}}}.$

Donc, si

$\operatorname {F} (x,r)=0$

est l’équation de cette courbe, elle deviendra celle de la surface du sphéroïde, en y substituant ${\sqrt {y^{2}+z^{2}}}$ pour $r\,;$ et, à cause de $r'={\frac {yy'+zz'}{r}},$