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on aura

$\operatorname {F} '(y)={\frac {y}{r}}\operatorname {F} '(r),\quad \operatorname {F} '(z)={\frac {z}{r}}\operatorname {F} '(r),$

de sorte que l’équation de la ligne la plus courte sur le sphéroïde deviendra

$\left({\frac {y'}{\mathrm {V} }}\right)'z-\left({\frac {z'}{\mathrm {V} }}\right)'y=0,$

laquelle est du second ordre, mais dont la primitive du premier ordre est

${\frac {zy'-yz'}{\mathrm {V} }}=a,$

$a$ étant une constante quelconque. Cette équation, combinée avec l’équation $\operatorname {F} (x,r)=0,$ suffira pour construire la courbe.

Ce problème est traité avec heaucoup de détails dans le quatrième Volume des Ouvrages de Jean Bernoulli.

Le problème de la ligne la plus courte conduit naturellement à celui de la surface de la moindre étendue. Nous avons déjà vu plus haut que l’on a alors

$\mathrm {V} ={\sqrt {1+\left(z'^{,}\right)^{2}+\left(z^{,}\,\!'\right)^{2}}},$

laquelle étant comparée à la formule

$\mathrm {L} {\overset {.}{z}}+\mathrm {M} {\overset {.}{z}}\,\!'^{,}+\mathrm {N} {\overset {.}{z}}\,^{,}\,\!'$

donne

$\mathrm {L} =0,\quad \mathrm {M} ={\frac {z'^{,}}{\mathrm {V} }},\quad \mathrm {N} ={\frac {z^{,}\,\!'}{\mathrm {V} }}\,;$

et de là résulte l’équation générale

$\left({\frac {z'^{,}}{\mathrm {V} }}\right)'^{,}+{\left({\frac {z^{,}\,\!'}{\mathrm {V} }}\right)^{,}}'=0.$

Cette équation, en effectuant les dérivations indiquées, se réduit à

$\mathrm {V} \left(z''^{,}+z^{,}\,\!''\right)-\left(z'^{,}\mathrm {V} '^{,}+z^{,}\,\!'\mathrm {V} ^{,}\,\!'\right)=0\,;$