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Considérons maintenant l’équation aux limites

${\overset {.}{\mathrm {U} }}_{1}-{\overset {.}{\mathrm {U} }}_{0}=0\,;$

supposons, ce_qui est le cas le plus ordinaire, que les deux limites soient indépendantes l’une de l’autre ; on aura séparément

$\mathrm {{\overset {.}{U}}_{0}=0,\quad {\overset {.}{U}}_{1}} =0.$

Or, en faisant dans l’expression de ${\overset {.}{\mathrm {U} }}$ donnée plus haut les substitutions nécessaires, on a

${\overset {.}{\mathrm {U} }}=\left[{\frac {1}{\sqrt {z}}}+2\lambda \varphi (z)\right]{\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\left({\overset {.}{y}}-y'{\overset {.}{x}}\right)+\lambda \left({\overset {.}{z}}-z'{\overset {.}{x}}\right)+{\frac {\sqrt {1+y'^{2}}}{\sqrt {z}}}{\overset {.}{x}}.$

Cette expression, en mettant pour $z'$ sa valeur $2g-2\varphi (z){\sqrt {1+y'^{2}}}$ et réduisant, devient

$\mathrm {\overset {.}{U}} =\left({\frac {t}{\sqrt {1+y'^{2}}}}-2g\lambda \right){\overset {.}{x}}+{\frac {ty'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}{\overset {.}{y}}+\lambda {\overset {.}{z}},$

où $t$ est mis pour ${\frac {1}{\sqrt {z}}}+2\lambda \varphi (z),$ comme on l’a employé ci-dessus, de sorte qu’en substituant encore à la place de $t$ sa valeur donnée par la première équation, on aura plus simplement

$\mathrm {\overset {.}{U}} =\left({\frac {1}{y'{\sqrt {a}}}}-2g\lambda \right){\overset {.}{x}}+{\frac {\overset {.}{y}}{\sqrt {a}}}+\lambda {\overset {.}{z}}.$

Cette valeur de $\mathrm {\overset {.}{U}}$ devra donc être nulle aux deux limites.

Pour la première limite, nous avons vu ci-dessus que l’on a en général $z_{0}=\Delta (x_{0},y_{0})\,;$ donc, prenant les variations, on aura

${\overset {.}{z}}_{0}={\overset {.}{x}}_{0}\Delta '(x_{0})+{\overset {.}{y}}_{0}\Delta '(y_{0}),$

de sorte que l’équation $\mathrm {U} _{0}=0$ donnera celle-ci :

$\left[{\frac {1}{y'_{0}{\sqrt {a}}}}-2g\lambda _{0}+\Delta '(x_{0})\lambda _{0}\right]{\overset {.}{x}}_{0}+\left[{\frac {1}{\sqrt {a}}}+\Delta '(y_{0})\lambda _{0}\right]{\overset {.}{y}}_{0}=0.$

Pour la seconde limite, on aura aussi $\mathrm {U} _{1}=0,$ équation dans laquelle, la variation ${\overset {.}{z}}$ demeurant indéterminée, il faudra la faire évanouir en