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Et en général, si $y=\operatorname {tang} p,$ on trouvera

$y'={\frac {p'}{\cos ^{2}p}}.$

Mais la fonction $y$ pourrait n’être donnée que par une équation entre $x$ et $y.$ Représentons en général cette équation par

$\operatorname {F} (y,x)=0\,;$

il est clair que, si l’on regarde $y$ comme une fonction de $x$ déterminée par cette équation, et qu’on imagine cette fonction substituée au lieu de $y$ dans $\operatorname {F} (y,x),$ il en résultera une fonction de $x$ qui sera identiquement nulle, quelle que soit la valeur de $x,$ et par conséquent aussi en mettant $x+i$ à la place de $x,$ quelle que soit la valeur de $i.$

Dénotons cette fonction par $z,$ et comme $x,$ devenant $x+i,$ $z$ devient $z+iz'+{\frac {i^{2}}{2}}z''+\ldots ,$ on aura, quelle que soit la valeur de $i,$ l’équation

$z+iz'+{\frac {i^{2}}{2}}z''+\ldots =0\,;$

d’où l’on tire les équations

$z=0,\quad z'=0,\quad z''=0,\quad \ldots .$

Maintenant, $z$ étant $=\operatorname {F} (y,x),$ on aura, par les formules ci-dessus,

$z'=y'\operatorname {F} '(y)+\operatorname {F} '(x),$

en dénotant par $\operatorname {F} '(y)$ la fonction prime de $\operatorname {F} (y,x)$ prise relativement à $y$ seul, et par $\operatorname {F} '(x)$ la fonction prime de $\operatorname {F} (y,x)$ prise relativement à $x,$ et faisant $x'=1,$ puisque $x$ devient simplement $x+i.$

Ainsi l’équation dérivée $z'=0$ sera

$y'\operatorname {F} '(y)+\operatorname {F} '(x)=0,$

d’où l’on tire

$y'=-{\frac {\operatorname {F} '(x)}{\operatorname {F} '(y)}}.$

On aura de cette manière la valeur de $y'$ en fonction de $x$ et $y\,;$ de là,