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en regardant toujours $y$ comme fonction de $x,$ on pourra déduire la valeur de $y''$ en fonction de $x$ et $y.$ Car, en supposant pour abréger $y'=f(y,x),$ la fonction dérivée de $f(y,x)$ sera de la forme $y'f'(y)+f'(x)\,;$ donc, substituant pour $y'$ sa valeur, on aura

$y''=f(y,x)f'(y)+f'(x),$

et ainsi de suite.

On trouverait les mêmes valeurs de $y'',y''',\ldots ,$ par les équations $z''=0,\ z'''=0,\ \ldots .$

Si l’on avait plus généralement l’équation

$\operatorname {F} (y,p,q,\ldots )=0,$

on trouverait de la même manière l’équation dérivée

$y'\operatorname {F} '(y)+p'\operatorname {F} '(p)+q'\operatorname {F} '(q)+\ldots =0\,;$

d’où l’on tire

$y'=-{\frac {p'\operatorname {F} '(p)+q'\operatorname {F} '(q)+\ldots }{\operatorname {F} '(y)}}.$

Et, regardant de nouveau la valeur de $y'$ comme une fonction de $y,p,q,\ldots ,$ $p',q',\ldots ,$ sa fonction dérivée sera la valeur de $y''\,;$ et ainsi de suite.

Enfin, si l’on avait deux fonctions $y$ et $u$ données par les équations

$\operatorname {F} (y,u,p,q,\ldots )=0,\quad f(y,u,p,q,\ldots )=0,$

on pourrait par les mêmes opérations trouver immédiatement les valeurs de $y'$ et $u'$ en fonctions de $y,u,p,q,\ldots .$

Car on aurait d’abord les équations dérivées

${\begin{aligned}y'\operatorname {F} '(y)+u'\operatorname {F} '(u)+p'\operatorname {F} '(p)+q'\operatorname {F} '(q)+\ldots =&0,\\y'\,f'\,(y)+u'\,f'(u)+p'\,f'\,(p)+q'\,f'(q)+\ldots =&0,\end{aligned}}$

d’où l’on tirerait $y'$ et $u'\,;$ et ainsi du reste.

Les règles que nous venons d’établir suffisent pour trouver les fonctions dérivées d’un ordre quelconque de toute fonction d’une variable, de quelque manière qu’elle soit donnée, soit explicitement par des