celle de
de même
fonction dérivée de
par rapport à
sera égale à la fonction dérivée de
par rapport à
divisée par
et ainsi de suite. Or la fonction dérivée de
est
donc on aura
![{\displaystyle (y'')={\frac {y''}{x'^{2}}}-{\frac {y'x''}{x'^{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44e63b954dc7862a88ffc8d6860b5aeadf98df54)
comme on l’a trouvé par la seconde équation. Et ainsi de suite.
Par ces substitutions on dépouille, pour ainsi dire, les fonctions dérivées de ce qui dépend de la variable à laquelle elles se rapportaient originairement, et on les généralise de manière qu’elles peuvent se rapporter également à toute autre variable.
Or ce qui déterminait les fonctions dérivées de
à se rapporter à la variable
c’était qu’elles résultaient de l’accroissement
attribué à cette variable ; au lieu qu’en rapportant ces fonctions à une autre variable dont
est censée fonction, l’accroissement de
devient alors
étant l’accroissement de la nouvelle variable. Ainsi, comme le cas particulier où l’accroissement de
est simplement
résulte de l’expression générale de l’accroissement de
en y faisant
il s’ensuit que
est la condition, qui détermine les fonctions dérivées à se rapporter à la variable
et qu’en général pour les rapporter à toute autre variable il n’y aura qu’à supposer égale à l’unité la fonction prime de cette variable.
Il résulte de là cette conclusion générale que, si une formule contient les fonctions dérivées
relatives à une variable
et qu’on veuille les rapporter à une autre variable quelconque, il faudra changer
![{\displaystyle {\begin{aligned}&y'{\text{ en }}{\frac {y'}{x'}},\\&y''{\text{ en }}{\frac {\left({\cfrac {y'}{x'}}\right)'}{x'}}={\frac {y''}{x'^{2}}}-{\frac {y'x''}{x'^{3}}},\\&y'''{\text{ en }}{\frac {\left[{\cfrac {\left({\cfrac {y'}{x'}}\right)'}{x'}}\right]'}{x'}}={\frac {\left({\cfrac {y''}{x'^{2}}}-{\cfrac {y'x''}{x'^{3}}}\right)'}{x'}}={\frac {y'''}{x'^{3}}}-{\frac {3y''x''}{x'^{4}}}-y'\left({\frac {x'''}{x'^{4}}}-{\frac {3x''^{2}}{x'^{5}}}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fff0dec9c5d58337f0fdc4d453a4e18daccce387)